如图,正方形ABCD对角线AC,BD交于点O,P是BD上任意一点,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥AD于点F,连接OE,OF.求证：OE⊥OF

如图,正方形ABCD对角线AC,BD交于点O,P是BD上任意一点,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥AD于点F,连接OE,OF.求证：OE⊥OF
如图,正方形ABCD对角线AC,BD交于点O,P是BD上任意一点,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥AD于点F,连接OE,OF.
求证：OE⊥OF

如图,正方形ABCD对角线AC,BD交于点O,P是BD上任意一点,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥AD于点F,连接OE,OF.求证：OE⊥OF
证明：
∵正方形ABCD
∴AO＝BO,∠AOB＝∠BAD＝90,∠ABD＝∠DAC＝45
∵PE⊥AB
∴PE＝BE
∵PF⊥AD
∴矩形AEPF
∴AF＝PE
∴AF＝BE
∴△AOF≌△BOE
∴∠AOF＝∠BOE
∵∠BOE+∠AOE＝∠AOB＝90
∴∠AOF+∠AOE＝90
∴∠EOF＝90
∴OE⊥OF

先证OE=BE，
再证三角形AFO与三角形BEO全等（SAS)
可得 角FOA=角EOB
根据等式性质 可得 角EOF=角AOB=90度
所以OE⊥OF