作业帮如图：分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.EG,BC的中点分别为N,M.证明：N,P,M,P为正方形的顶点.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:22:25
如图：分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.EG,BC的中点分别为N,M.证明：N,P,M,P为正方形的顶点.
如图：分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.
EG,BC的中点分别为N,M.证明：N,P,M,P为正方形的顶点.
如图：分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.EG,BC的中点分别为N,M.证明：N,P,M,P为正方形的顶点.
令BG与CE相交于J、BG与AC相交于K.
∵P是正方形ABDE的中心, ∴P是BE的中点,又N是EG的中点,
∴NP是△BEG的中位线, ∴NP＝BG/2、NP∥BG.
∵Q是正方形ACFG的中心, ∴Q是CG的中点,又M是BC的中点,
∴MQ是△BCG的中位线, ∴MQ＝BG/2、MQ∥BG.
由NP＝BG/2、MQ＝BG/2,得：NP＝MQ. 由NP∥BG、MQ∥BG,得：NP∥MQ.
由NP＝MQ、NP∥MQ,得：NPMQ是平行四边形.
∵ABDE、ACFG都是正方形, ∴∠BAE＝∠CAG＝90°、AC＝AG、AB＝AE.
而∠CAE＝∠BAC＋∠BAE＝∠BAC＋90°＝∠BAC＋∠CAG＝∠GAB.
∴△ACE≌△AGB, ∴CE＝BG、∠ACE＝∠AGB.
∵P、M分别是BE、BC的中点, ∴MP＝CE/2.
由CE＝BG、MP＝CE/2、NP＝BG/2,得：MP＝NP, ∴平行四边形NPMQ是菱形.
显然有：∠AGB＋∠AKG＝90°,而∠AGB＝∠ACE、∠AKG＝∠CKJ,
∴∠ACE＋∠CKJ＝90°, ∴CE⊥BG,结合证得的NP∥BG、MQ∥BG,得：NP⊥MP,
∴菱形NPMQ是正方形, ∴N、P、M、Q是正方形的顶点.