如图,圆O为三角形ABC的外接圆,弦CP平分三角形ABC的外角角ACQ,角ACB等于90度,证:AC-BC=根号2PC

如图,圆O为三角形ABC的外接圆,弦CP平分三角形ABC的外角角ACQ,角ACB等于90度,证:AC-BC=根号2PC
如图,圆O为三角形ABC的外接圆,弦CP平分三角形ABC的外角角ACQ,角ACB等于90度,证:AC-BC=根号2PC

如图,圆O为三角形ABC的外接圆,弦CP平分三角形ABC的外角角ACQ,角ACB等于90度,证:AC-BC=根号2PC
证明：连结PA、在AC上取点D使CD=CB、则AD=AC-BC,连结BD,
∵∠ACB=Rt,∴AB是直径、∠ACP=1/2∠ACQ=45°、∠CDB=1/2(180°-90°)=45°,
∠ADB=∠PCB=90°+45°=135°,⊙O中∠ABP=∠ACP=45°,∠BPC=∠BAC,
∴△ABD∽△PBC,AD/AB=PC/PB,
设Rt△APB中AP=BP=1,则AB=√2,
∴AD/√2=PC/1,即AD=√2*PC,
∴AC-BC=√2*PC,证毕.

证明:连接PA,PB.过点P作PC的垂线,交AC于D.
∠ACB=90°,PC平分∠ACQ,则∠PCD=45°=∠PDC,PC=PD,CD=√2PC.
∠ADP=∠BCP=135°;∠PAD=∠PBC.
故⊿ADP≌⊿BCP(AAS),得AD=BC.
所以,AC-BC=AC-AD=CD=√2PC.

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