设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证: 根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下(4c+1)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 10:00:53

设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证: 根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下(4c+1)
设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证: 根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下(4c+1)<5

设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证: 根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下(4c+1)
更强的结论为根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下(4c+1)<=√21
证明：√(4a+1)=√(3/7)*√(7/3)(4a+1)<=√(3/7)*(7/3+4a+1)/2=(2a+5/3)√3/7)
同理：√(4b+1)<=(2b+5/3)√(3/7)
同理：√(4c+1)<=(2c+5/3)√(3/7)
三个不等式相加得√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)≤(2a+2b+2c+5)√(3/7)=√21
当且仅当a=b=c=1/3时等号成立.
证毕!
PS：楼上怎么证明的,看的头晕!I 服了U!

全部展开

由于根号下出来的数都是大于等于0的,所以可以对不等式两边进行平方
利用3项相加的和的平方公式展开
公式为:(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^+2ab+2ac+2bc
那么,原题就可以写成:4a+1+4b+1+4c+1+2*√[(4a+1)*(4b+1)]+......
即每两项的相乘,且两项在一个根号下
那么4a+1+4b+1+4c+1=7,不等式右边=25
即:3个根号项和要<18
约分约去2,即√[4a+1)*(4b+1)]+......<9
观察,[(4a+1)-(4b+1)]^2=4a+1-2*√[(4a+1)*(4b+1]+4b+1
又平方都是大于等于0的,即:
4a+1-2*√[(4a+1)*(4b+1]+4b+1>0
得到:2*√[(4a+1)*(4b+1]<4a+1+4b+1
同理:2*√[(4b+1)*(4c+1]<4b+1+4c+1

2*√[(4c+1)*(4a+1]<4c+1+4a+1
左右同时相加,得:2*√[(4a+1)*(4b+1]+......<4a+1+4b+1+......=14
即:√[(4a+1)*(4b+1]+......<7
而在前面化简以后的结果是:
√[4a+1)*(4b+1)]+......<9
故,得证.

收起

设a b c为正数,且a+b+c=1求a²b²+b²c²+c²a²≥abc 设a b c均为正数且a+b+c=12 求1/a+9/b+25/c的最小值?设a b c均为正数且a+b+c=12 求1/a+9/b+25/c的最小值? 设a,b,c均为正数,且a+2b+3c=1,则1/a+2/b+3/c的最小值为? 设a b c均为正数,且a+b+c=1.证明ab+bc+ca小于等于1/3 求1设a b c均为正数,且a+b+c=1.证明ab+bc+ca小于等于1/3求1/a+1/b+1/c的最小值设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明：1/a+1/b+1/c≥9. 设a.b.c.均为正数,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c大于等于9 设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3 设a,b,c都是正数,且3^a=4^b=6^c,求a,b,c关系是2/c=2/a+1/b 设abc均为正数,且a+b+c=1 求证 1.a²b²+b²c²+c²a²≥abc 2.设abc均为正数,且a+b+c=1求证1.a²b²+b²c²+c²a²≥abc2.a²+b²+c²≥9abc 设A.B.C均为正数,求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)>=3/2 设a,b,c,均为整数,且1/a+1/b+1/c=1 ,当a+2b+3c取得最小值时,求a的值是正数不是整数已知a,b,c均为正数,且abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值设a,b,c为不等于1的正数,且a^x=b^y=c^z,xy+yz+xz=0,求abc 设a,b,c 为正数,且3^a=4^b=6^c,求证1/c-1/a=1/2b 设a,b,c 为正数,且3^a=4^b=6^c,求证1/c-1/a=1/2b 设a、b、c为正数,且 3^a=4^b=6^c,求证：1/c-1-a=1/2b 请写出具体过程设a,b,c都为正数,且3^a=4^b=6^c,试求证2/c=2/a+1/b 设a、b、c为有理数,且满足a+b+c=0.abc=1,则abc中正数有?到底是什么厄.其中正数有几个？