作业帮已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 05:50:51
已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称
已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称
已知函数f(x)=(x-1)/ax-1(x∈R,x≠1/a),求证y=f(x)的图像关于直线y=x对称
任取P（x,y)在f(x)上,则P（x,y)关于y=x对称点P`(x`,y`)
x`=y,y`=x
P`(y,x)
y=(x-1)/(ax-1)
把P点 的横坐标代与f(x)
f((x-1)/(ax-1))=x
等于P点的纵坐标
所以P`点也在函数图像上
所以f(x)关于y=x对称
大略，
要证明 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称 ，只要证明任意一条垂直于直线 y=x 的直线，被 y=f(x)所截得的线段，被 直线 y=x 平分即可
直线 y=-x+b 是垂直于直线 y=x 的一条动直线，它与 y=f(x) 的图像交于点A,B
把 y=-x+b 代入 y=f(x) 得
-x+b=（x-1)/(ax-1)
-ax²+abx +x-...
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要证明 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称 ，只要证明任意一条垂直于直线 y=x 的直线，被 y=f(x)所截得的线段，被 直线 y=x 平分即可
直线 y=-x+b 是垂直于直线 y=x 的一条动直线，它与 y=f(x) 的图像交于点A,B
把 y=-x+b 代入 y=f(x) 得
-x+b=（x-1)/(ax-1)
-ax²+abx +x-b=x-1
ax²-abx+1-b=0
这个方程的两个根x1,x2分别是A,B两点的横坐标
x1+x2=b
于是 y1+y2=-x1+b-x2+b=-(x1+x2)+2b=-b+2b=b
所以，A,B两点的中点的横坐标是（x1+x2)/2=b/2 纵坐标 （y1+y2)/2=b/2
因此AB的中点的横坐标等于纵坐标，这个中点一定在直线 y=x 上
那么 AB被直线 y=x 平分，
由此可知，函数 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称
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