求证sin(a/2)(sina+sin2a++sin3a+..+sinna)=sin(na/2)*sin[(n+1)a/2]

求证sin(a/2)(sina+sin2a++sin3a+..+sinna)=sin(na/2)*sin[(n+1)a/2]
求证sin(a/2)(sina+sin2a++sin3a+..+sinna)=sin(na/2)*sin[(n+1)a/2]

求证sin(a/2)(sina+sin2a++sin3a+..+sinna)=sin(na/2)*sin[(n+1)a/2]
证明：
由积化和差公式：sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]得
sin(a/2)*sina = 1/2 * cos(3*a/2) - 1/2 * cos（a/2）
sin(a/2)*sin2*a = 1/2 * cos(5*a/2) - 1/2 * cos（3*a/2）
sin(a/2)*sin3*a = 1/2 * cos(7*a/2) - 1/2 * cos（5*a/2）
.
sin(a/2)*sinn*a = 1/2 * cos[(2*n-1)*a/2] - 1/2 * cos[（2*n-1)*a/2]
所以左边 = 1/2*cos[(2*n+1)*a/2] - 1/2*cos(a/2)
再由和差化积公式 cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]得
左边 = 1/2*cos[(2*n+1)*a/2] - 1/2*cos(a/2)
= sin(na/2)*sin[(n+1)a/2]