二次函数/二次不等式问题已知二次不等式f(x)>0的解集为(1,3),y=f(x)的最大值与x轴的距离为1(1)求函数f(x)的解析式(2)若f(x)≤(4-2a)x在区间[-1,3]上恒成立,求参数a的范围

二次函数/二次不等式问题已知二次不等式f(x)>0的解集为(1,3),y=f(x)的最大值与x轴的距离为1(1)求函数f(x)的解析式(2)若f(x)≤(4-2a)x在区间[-1,3]上恒成立,求参数a的范围
二次函数/二次不等式问题
已知二次不等式f(x)>0的解集为(1,3),y=f(x)的最大值与x轴的距离为1
(1)求函数f(x)的解析式
(2)若f(x)≤(4-2a)x在区间[-1,3]上恒成立,求参数a的范围

二次函数/二次不等式问题已知二次不等式f(x)>0的解集为(1,3),y=f(x)的最大值与x轴的距离为1(1)求函数f(x)的解析式(2)若f(x)≤(4-2a)x在区间[-1,3]上恒成立,求参数a的范围
设函数f(x)= mx²+bx+c （其中m、b、c为常数）
由题意,f(x)>0的解集为(1,3),可得
则,m＜0,且方程 mx²+ bx + c = 0的解为1、3
根据韦达定理,有
-b/m = 1+3 = 4,c/m = 1*3 = 3…………………………………………………（①）
又y=f(x)的最大值与x轴的距离为1,
而当x= -b/(2m)时,y可取最大值 - b²/(4m) + c
则,- b²/(4m) + c = 1 ………………………………………………………………（②）
（②）式两边同时除以m,得
- (1/4)* (b/m)² + (c/m) = 1/m
（①）式代入,得 - (1/4)* (- 4)² + 3 = 1/m
解得,m = - 1,则b= 4 ,c = - 3
∴函数f(x)的解析式 为 f(x) = - x² + 4x - 3
不等式f(x) ≤ (4-2a)x 化简得
x² - 2ax + 3 ≥ 0
配方得,
(x - a)² ≥ a² - 3
解得,x ≥ a + √(a² - 3) 或x ≤ a - √(a² - 3) 且 a² - 3 ≥ 0
由题意,该不等式在区间[-1,3]上恒成立
则,a需满足不等式组
a + √(a² - 3) ≤ - 1 或 a - √(a² - 3) ≥ 3
a² - 3 ≥ 0
可简化为
√(a² - 3) ≤ - a - 1 或 √(a² - 3) ≤ a - 3
a ≥ √3 或a ≤ - √3
【 以下是解不等式组的过程】
① 由 √(a² - 3) ≤ - a - 1 得 - a - 1≥ 0,即 a ≤ - 1
两边平方,解得 a ≥ - 2
又,a ≥ √3 或a ≤ - √3
综合之,得 - 2 ≤ a ≤ - √3
② 由 √(a² - 3) ≤ a - 3 得 a - 3≥ 0,即 a ≥ 3
两边平方,解得 a ≤ 2,但这与a ≥ 3矛盾,故舍去
所以有,当 - 2 ≤ a ≤ - √3 时,f(x)≤(4-2a)x在区间[-1,3]上恒成立

（1）设函数f(x)= mx²+bx+c （其中m、b、c为常数）
由题意，f(x)>0的解集为(1,3)，可得
则，m＜0，且方程 mx²+ bx + c = 0的解为1、3
根据韦达定理，有
-b/m = 1+3 = 4， c/m = 1*3 = 3…………………………………………...

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（1）设函数f(x)= mx²+bx+c （其中m、b、c为常数）
由题意，f(x)>0的解集为(1,3)，可得
则，m＜0，且方程 mx²+ bx + c = 0的解为1、3
根据韦达定理，有
-b/m = 1+3 = 4， c/m = 1*3 = 3…………………………………………………（①）
又y=f(x)的最大值与x轴的距离为1，
而当x= -b/(2m)时，y可取最大值 - b²/(4m) + c
则，- b²/(4m) + c = 1 ………………………………………………………………（②）
（②）式两边同时除以m，得
- (1/4)* (b/m)² + (c/m) = 1/m
（①）式代入，得 - (1/4)* (- 4)² + 3 = 1/m
解得，m = - 1， 则b= 4 ， c = - 3
∴函数f(x)的解析式 为 f(x) = - x² + 4x - 3
（2）不等式f(x) ≤ (4-2a)x 化简得
x² - 2ax + 3 ≥ 0
配方得，
(x - a)² ≥ a² - 3
解得， x ≥ a + √(a² - 3) 或x ≤ a - √(a² - 3) 且 a² - 3 ≥ 0
由题意，该不等式在区间[-1,3]上恒成立
则，a需满足不等式组
a + √(a² - 3) ≤ - 1 或 a - √(a² - 3) ≥ 3
a² - 3 ≥ 0
可简化为
√(a² - 3) ≤ - a - 1 或 √(a² - 3) ≤ a - 3
a ≥ √3 或a ≤ - √3

【 以下是解不等式组的过程】
① 由 √(a² - 3) ≤ - a - 1 得 - a - 1≥ 0， 即 a ≤ - 1
两边平方，解得 a ≥ - 2
又，a ≥ √3 或a ≤ - √3
综合之，得 - 2 ≤ a ≤ - √3
② 由 √(a² - 3) ≤ a - 3 得 a - 3≥ 0， 即 a ≥ 3
两边平方，解得 a ≤ 2， 但这与a ≥ 3矛盾，故舍去
所以有，当 - 2 ≤ a ≤ - √3 时， f(x)≤(4-2a)x在区间[-1,3]上恒成立

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