作业帮x^2+4y^2-4=0 4x+6y-12+λx=0 6x+9y-18+4λy=0拉勒格日求极值时遇到的,求解法和思路,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:33:16
x^2+4y^2-4=0 4x+6y-12+λx=0 6x+9y-18+4λy=0拉勒格日求极值时遇到的,求解法和思路,
x^2+4y^2-4=0
4x+6y-12+λx=0
6x+9y-18+4λy=0
拉勒格日求极值时遇到的,求解法和思路,
x^2+4y^2-4=0 4x+6y-12+λx=0 6x+9y-18+4λy=0拉勒格日求极值时遇到的,求解法和思路,
x^2+4y^2-4=0 (1)
4x+6y-12+λx=0 (2)
6x+9y-18+4λy=0 (3)
(2)*4y,得
16xy+24y^2-48y+4λxy=0.(4)
(3)*x,得
6x^2+9xy-18x+4λxy=0.(5)
(5)-(4),得
6x^2-7xy-24y^2-18x+48y=0.
即 6x^2-(7y+18)x-24y^2+48y=0.(6)
所以 Delta=(7y+18)^2-4*6*(-24y^2+48y)
=625y^2-900y+324
=(25y-18)^2.
所以 x=[7y+18+(25y-18)]/12
=(8/3)y,
或 x=[7y+18-(25y-18)]/12
=(-3/2)y+3.
i) 将 x=(8/3)y 代入(1)得,
(100/9)y^2-4=0.
解得 y1=3/5,y2=-3/5.
则 x1=8/5,x2= -8/5.
将 x1=8/5,y1=3/5 代入(2),
解得 λ1=5/4.
将 x2= -8/5,y2= -3/5 代入(2),
解得 λ2= -55/4.
ii) 将 x=(-3/2)y+3 代入(1)得,
(25/4)y^2-9y+5=0.
则 Delta2= -44
x^2+4y^2-4=0 (1式)
4x+6y-12+λx=0 (2式)
6x+9y-18+4λy=0 (3式)
(2式)*3/2 得到 6x+9y-18+3/2λx=0 (4式)
联立式子(3)与(4)得到 6x+9y-18=-3/2λx=-4λy 即 3x=8y 即x=(8/3)y (5式)
把(5式)带入(1式) 有 64/9*y...
全部展开
x^2+4y^2-4=0 (1式)
4x+6y-12+λx=0 (2式)
6x+9y-18+4λy=0 (3式)
(2式)*3/2 得到 6x+9y-18+3/2λx=0 (4式)
联立式子(3)与(4)得到 6x+9y-18=-3/2λx=-4λy 即 3x=8y 即x=(8/3)y (5式)
把(5式)带入(1式) 有 64/9*y^2+4y^2=4 即 100/9*y^2=4
所以y^2=(6/10)^2 所以y=6/10或-6/10 相应的 x=8/5 或x=-8/5
解为(x,y)=(8/5,6/10) 或 (-8/5,-6/10).
收起
x^2+4y^x^2-4
x^2+4y^2=0+4
2<4y^+x^>=4
8y^+2x^=4
8y^=4-2x^
y^=<4-2x^>/8
y^=1/2-1/4x^
1/4x^+y^=1/2
1/4x^=1/2-y^