作业帮请问p级数的和是多少?比如当p=2时,和为π*π/2比如当p=2时,和为π*π/2,当p是其它数时,结果是多少,还有具体的过程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 19:59:35
请问p级数的和是多少?比如当p=2时,和为π*π/2比如当p=2时,和为π*π/2,当p是其它数时,结果是多少,还有具体的过程.
请问p级数的和是多少?比如当p=2时,和为π*π/2
比如当p=2时,和为π*π/2,当p是其它数时,结果是多少,还有具体的过程.
请问p级数的和是多少?比如当p=2时,和为π*π/2比如当p=2时,和为π*π/2,当p是其它数时,结果是多少,还有具体的过程.
我用C语言编写的程序：
Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式ζ(s)=∑1/n^s,(Re(s)＞0)在复平面上的解析延拓.
满足ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)^(s-1)sin(πs/2)ζ(1-s)
可见s=-2n时,
ζ(-2n)=2Γ(2n+1)(2π)^(-2n-1)sin(-nπ)ζ(2n+1)
由于sin(-nπ)=0,所以ζ(-2n)=0
因此我们无法知道ζ(2n+1)的解析值!
事实上我们只知道ζ(2n)的解析值.
654+
{不同p值, 精确解,数值解}
{2, π^2/6, 1.64493},
{4, π^4/90, 1.08232},
{6, π^6/945, 1.01734},
{8, π^8/9450, 1.00408},
{10, π^10/93555, 1.00099},
{12, (691 π^12)/638512875, 1.00025},
{...
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{不同p值, 精确解,数值解}
{2, π^2/6, 1.64493},
{4, π^4/90, 1.08232},
{6, π^6/945, 1.01734},
{8, π^8/9450, 1.00408},
{10, π^10/93555, 1.00099},
{12, (691 π^12)/638512875, 1.00025},
{14, ( 2 π^14)/18243225, 1.00006},
{16, ( 3617 π^16)/325641566250, 1.00002},
{18, ( 43867 π^18)/38979295480125, 1.},
{20, ( 174611 π^20)/1531329465290625, 1.},
{22, ( 155366 π^22)/13447856940643125, 1.},
{24, ( 236364091 π^24)/201919571963756521875, 1.},
{26, ( 1315862 π^26)/11094481976030578125, 1.},
{28, ( 6785560294 π^28)/564653660170076273671875, 1.},
{30, ( 6892673020804 π^30)/5660878804669082674070015625, 1.},
{32, ( 7709321041217 π^32)/62490220571022341207266406250, 1.},
{34, ( 151628697551 π^34)/12130454581433748587292890625, 1.},
{36, ( 26315271553053477373 \π^36)/20777977561866588586487628662044921875, 1.},
{38, ( 308420411983322 π^38)/2403467618492375776343276883984375, 1.},
{40, (261082718496449122051 \π^40)/20080431172289638826798401128390556640625, 1.}
收起
天才，您能采纳我吗，谢谢了！（我书上有一模一样的！，我保证对）
我用C语言编写的程序：
Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式ζ(s)=∑1/n^s,(Re(s)＞0)在复平面上的解析延拓。
满足ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)^(s-1)sin(πs/2)ζ(1-s)
可见s=-2n时，
ζ(-2n)=2Γ(2n+1)(2π)^(-2n-1)sin...
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天才，您能采纳我吗，谢谢了！（我书上有一模一样的！，我保证对）
我用C语言编写的程序：
Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式ζ(s)=∑1/n^s,(Re(s)＞0)在复平面上的解析延拓。
满足ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)^(s-1)sin(πs/2)ζ(1-s)
可见s=-2n时，
ζ(-2n)=2Γ(2n+1)(2π)^(-2n-1)sin(-nπ)ζ(2n+1)
由于sin(-nπ)=0，所以ζ(-2n)=0
因此我们无法知道ζ(2n+1)的解析值！
事实上我们只知道ζ(2n)的解析值。
{2, π^2/6, 1.64493},
{4, π^4/90, 1.08232},
{6, π^6/945, 1.01734},
{8, π^8/9450, 1.00408},
{10, π^10/93555, 1.00099},
{12, (691 π^12)/638512875, 1.00025},
{14, ( 2 π^14)/18243225, 1.00006},
{16, ( 3617 π^16)/325641566250, 1.00002},
{18, ( 43867 π^18)/38979295480125, 1.},
{20, ( 174611 π^20)/1531329465290625, 1.},
{22, ( 155366 π^22)/13447856940643125, 1.},
{24, ( 236364091 π^24)/201919571963756521875, 1.},
{26, ( 1315862 π^26)/11094481976030578125, 1.},
{28, ( 6785560294 π^28)/564653660170076273671875, 1.},
{30, ( 6892673020804 π^30)/5660878804669082674070015625, 1.},
{32, ( 7709321041217 π^32)/62490220571022341207266406250, 1.},
{34, ( 151628697551 π^34)/12130454581433748587292890625, 1.},
{36, ( 26315271553053477373 \π^36)/20777977561866588586487628662044921875, 1.},
{38, ( 308420411983322 π^38)/2403467618492375776343276883984375, 1.},
{40, (261082718496449122051 \π^40)/20080431172289638826798401128390556640625, 1.}
收起
这涉及到Riemannζ函数!
Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式ζ(s)=∑1/n^s,(Re(s)＞0)在复平面上的解析延拓。
满足ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)^(s-1)sin(πs/2)ζ(1-s)
可见s=-2n时，
ζ(-2n)=2Γ(2n+1)(2π)^(-2n-1)sin(-nπ)ζ(2n+1)
由于sin(-nπ)=0，...
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这涉及到Riemannζ函数!
Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式ζ(s)=∑1/n^s,(Re(s)＞0)在复平面上的解析延拓。
满足ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)^(s-1)sin(πs/2)ζ(1-s)
可见s=-2n时，
ζ(-2n)=2Γ(2n+1)(2π)^(-2n-1)sin(-nπ)ζ(2n+1)
由于sin(-nπ)=0，所以ζ(-2n)=0
因此我们无法知道ζ(2n+1)的解析值！
事实上我们只知道ζ(2n)的解析值。
考虑sinx/x=0，将sinx在x=0附近展开为泰勒级数，可得
sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+……
因此sinx/x=0，即
1=(1/3!)x^2-(1/5!)x^4+(1/7!)x^6+……
由于sinx/x=0的根为x(n)=±nπ,令t(n)=1/x^2
则t(n)=1/(nπ)^2,即方程
1=(1/3!)/t-(1/5!)/t^2+(1/7!)/t^3+……
的根为：t(n)=1/(nπ)^2
根据根与系数的关系，不难发现
∑t(n)=1/3!=1/6
即∑1/(nπ)^2=1/6
化简得∑1/n^2=π^2/6
同理我们得到
∑t(m)t(n)=1/5!=1/120
经过简单运算可得
∑[t(n)]^2=(1/3!)^2-2/5!=1/90
化简得∑1/n^4=π^4/90
同理我们可以得到
∑t(m)t(n)t(l)=1/7!
经过简单运算可得
∑[t(n)]^3=(1/3!)^3-3/3!5!+3/7!=1/945
化简得∑1/n^6=π^6/945
通过这种方式可得到ζ(2n)的任意解析值，只是运算越来越麻烦~
{不同p值, 精确解,数值解}
{2, π^2/6, 1.64493},
{4, π^4/90, 1.08232},
{6, π^6/945, 1.01734},
{8, π^8/9450, 1.00408},
{10, π^10/93555, 1.00099},
{12, (691 π^12)/638512875, 1.00025},
{14, ( 2 π^14)/18243225, 1.00006},
{16, ( 3617 π^16)/325641566250, 1.00002},
{18, ( 43867 π^18)/38979295480125, 1.},
{20, ( 174611 π^20)/1531329465290625, 1.},
{22, ( 155366 π^22)/13447856940643125, 1.},
{24, ( 236364091 π^24)/201919571963756521875, 1.},
{26, ( 1315862 π^26)/11094481976030578125, 1.},
{28, ( 6785560294 π^28)/564653660170076273671875, 1.},
{30, ( 6892673020804 π^30)/5660878804669082674070015625, 1.},
{32, ( 7709321041217 π^32)/62490220571022341207266406250, 1.},
{34, ( 151628697551 π^34)/12130454581433748587292890625, 1.},
{36, ( 26315271553053477373 \π^36)/20777977561866588586487628662044921875, 1.},
{38, ( 308420411983322 π^38)/2403467618492375776343276883984375, 1.},
{40, (261082718496449122051 \π^40)/20080431172289638826798401128390556640625
收起
这涉及到Riemannζ函数!
Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式ζ(s)=∑1/n^s,(Re(s)＞0)在复平面上的解析延拓。
满足ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)^(s-1)sin(πs/2)ζ(1-s)
可见s=-2n时，
ζ(-2n)=2Γ(2n+1)(2π)^(-2n-1)sin(-nπ)ζ(2n+1)
由于sin(-nπ)=0，所以ζ(-...
全部展开
这涉及到Riemannζ函数!
Riemannζ函数ζ(s)是级数表达式ζ(s)=∑1/n^s,(Re(s)＞0)在复平面上的解析延拓。
满足ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)^(s-1)sin(πs/2)ζ(1-s)
可见s=-2n时，
ζ(-2n)=2Γ(2n+1)(2π)^(-2n-1)sin(-nπ)ζ(2n+1)
由于sin(-nπ)=0，所以ζ(-2n)=0
因此我们无法知道ζ(2n+1)的解析值！
事实上我们只知道ζ(2n)的解析值。
考虑sinx/x=0，将sinx在x=0附近展开为泰勒级数，可得
sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+……
因此sinx/x=0，即
1=(1/3!)x^2-(1/5!)x^4+(1/7!)x^6+……
由于sinx/x=0的根为x(n)=±nπ,令t(n)=1/x^2
则t(n)=1/(nπ)^2,即方程
1=(1/3!)/t-(1/5!)/t^2+(1/7!)/t^3+……
的根为：t(n)=1/(nπ)^2
根据根与系数的关系，不难发现
∑t(n)=1/3!=1/6
即∑1/(nπ)^2=1/6
化简得∑1/n^2=π^2/6
同理我们得到
∑t(m)t(n)=1/5!=1/120
经过简单运算可得
∑[t(n)]^2=(1/3!)^2-2/5!=1/90
化简得∑1/n^4=π^4/90
同理我们可以得到
∑t(m)t(n)t(l)=1/7!
经过简单运算可得
∑[t(n)]^3=(1/3!)^3-3/3!5!+3/7!=1/945
化简得∑1/n^6=π^6/945
通过这种方式可得到ζ(2n)的任意解析值，只是运算越来越麻烦~
收起