已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.

已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.
已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.

已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.
设a=sinA,b=cosA; c=sinB,d=cosB; 则
|ac+bd|
=|sinAsinB+cosAcosB|
=|cos(A-B)|

楼上的解法是一种比较简单的解法，但对于没有接触过三角函数的人来说，可以用下面的这种方法：
证明：欲证式等价于：(ac+bd)²≤1=(a²+b²)(c²+d²)，即：
a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+...

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楼上的解法是一种比较简单的解法，但对于没有接触过三角函数的人来说，可以用下面的这种方法：
证明：欲证式等价于：(ac+bd)²≤1=(a²+b²)(c²+d²)，即：
a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
2abcd≤a²d²+b²c²
0≤(ad-bc)²
上式明显成立，倒推即可。

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