如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,DE=2,线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始）,速度为每秒1个单位,当端点E到达点C时停止运动,F为DE的中点,MF⊥DE交AB于点M,MN∥AC交BC于点N连接DM、ME、EN.设运动时间为t

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 17:12:54

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,DE=2,线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始）,速度为每秒1个单位,当端点E到达点C时停止运动,F为DE的中点,MF⊥DE交AB于点M,MN∥AC交BC于点N连接DM、ME、EN.设运动时间为t
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,DE=2,线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始）,速度为每秒1个单位,当端点E到达点C时停止运动,F为DE的中点,MF⊥DE交AB于点M,MN∥AC交BC于点N连接DM、ME、EN.设运动时间为t秒.
（1）求证：四边形MFCN是矩形；
（2）设四边形DENM的面积为S,求S关于t的函数解析式；当S取最大时,求t值；
（3）在运动过程中,若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似,求t的值

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,DE=2,线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始）,速度为每秒1个单位,当端点E到达点C时停止运动,F为DE的中点,MF⊥DE交AB于点M,MN∥AC交BC于点N连接DM、ME、EN.设运动时间为t
(1) 证明：∵MF⊥AC,∴∠MFC＝90°．
∵MN∥AC,∴∠MFC＋∠FMN＝180°．
∴∠FMN＝90°．
∵∠C＝90°,∴四边形MFCN是矩形．
(2) 当运动时间为t秒时,AD＝t,
∵F为DE的中点,DE＝2,∴DF＝EF＝12DE＝1．
∴AF＝t＋1,FC＝8－(t＋1)＝7－t．
∵四边形MFCN是矩形,∴MN＝FC＝7－t．
又∵AC＝BC,∠C＝90°,∴∠A＝45°．
∴在Rt△AMF中,MF＝AF＝t＋1,
∴S＝S△MDE＋ S△MNE ＝12DE•MF＋12MN•MF
＝12×2(t＋1)＋ 12(7－t)(t＋1)＝－12t^2＋4t＋92
∵S＝－12t^2＋4t＋92＝－12(t－4)^2＋252
∴当t＝4时,S有最大值．
(3) ∵MN∥AC,∴∠NME＝∠DEM．
① 当△NME∽△DEM时,∴NMDE＝EMME ．
∴7－t^2＝1,解得：t＝5．
② 当△EMN∽△DEM时,∴NMEM＝EMDE ．
∴EM2＝NM•DE．
在Rt△MEF中,ME2＝EF^2＋MF^2＝1＋(t＋1)^2,∴1＋(t＋1)^2＝2(7－t)．
解得：t1＝2,t2＝－6(不合题意,舍去)
综上所述,当t为2秒或5秒时,以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．