设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10：S5=1：2,求S15:S5

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10：S5=1：2,求S15:S5
设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10：S5=1：2,求S15:S5

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10：S5=1：2,求S15:S5
q≠1,
不然的话,S10：S5=2：1≠1：2.
S10=a1(1-q^10)/(1-q),
S5= a1(1-q^5)/(1-q),
S10：S5=1+q^5=1/2,
q^5=-1/2.
S15:S5
=1+q^5+q^10=1-1/2+1/4
=3/4.
(注:1-q^15=1-(q^5)^3,用立方差公式分解)

S10*2=S5+S15 设S10=1则S5=2，S15=0
所以s15：S5=0

解析：因为{an}是等比数列，故S5，S10－S5，S15－S10也构成等比数列，

记S5＝2k(k≠0)，则S10＝k

∴S10－S5＝－k，进而得S15－S10＝1/2 k

于是S15＝3/2 k

∴S15:S5＝3:4

S10=a1+a2……+a10=A
所以S5=a1+a2……+a5=2A
所以a6+a7+……+a10=-A
由等比数列知 a6=a1*(q的5次方)，a7=a2*(q的5次方)，……a10=a5*(q的5次方)
因为公比不变，所以由等比定理有
(a6+a7+……+a10)/(a1+a2+……+a5)=(-A)/(2A)=-1/2
所以(a11+a1...

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S10=a1+a2……+a10=A
所以S5=a1+a2……+a5=2A
所以a6+a7+……+a10=-A
由等比数列知 a6=a1*(q的5次方)，a7=a2*(q的5次方)，……a10=a5*(q的5次方)
因为公比不变，所以由等比定理有
(a6+a7+……+a10)/(a1+a2+……+a5)=(-A)/(2A)=-1/2
所以(a11+a12+……+a15)=-1/2×(a6+a7+……+a10)=-1/2×(-A)=A/2
所以S15=(a11+a12+……+a15)+(a6+a7+……+a10)+(a1+a2……+a5)
=A/2-A+2A=3A/2
所以 S15/S5=(3A/2)/2A=3/4

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