微积分求和问题求 1/1+1/2+1/3+.+1/n+=?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 04:10:57
微积分求和问题求 1/1+1/2+1/3+.+1/n+=?

微积分求和问题求 1/1+1/2+1/3+.+1/n+=?
微积分求和问题
求 1/1+1/2+1/3+.+1/n+=?

微积分求和问题求 1/1+1/2+1/3+.+1/n+=?
1+1/2+1/3+.+1/n是一个发散的级数,称为调和级数
调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下:
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)却存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn(n→∞)≥lim ln(1+1/n)(n→∞)=0
因此Sn有下界

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)存在.
于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)](n→∞),可以这样做:
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)](n→∞)=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)](n→∞)-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)+lim[ln(n+n)-ln(n)](n→∞)=γ-γ+ln2=ln2

发散的