作业帮在△ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c且(a×b):(b×c):(c×a)=1:2:3(1)求△ABC的三边之比（2）若△ABC的面积为2根号11,求三角形ABC的周长（3）若△ABC的BC边上的中线长为3,求BC边上的高
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:20:45
在△ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c且(a×b):(b×c):(c×a)=1:2:3(1)求△ABC的三边之比（2）若△ABC的面积为2根号11,求三角形ABC的周长（3）若△ABC的BC边上的中线长为3,求BC边上的高
在△ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c且(a×b):(b×c):(c×a)=1:2:3
(1)求△ABC的三边之比
（2）若△ABC的面积为2根号11,求三角形ABC的周长
（3）若△ABC的BC边上的中线长为3,求BC边上的高
在△ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c且(a×b):(b×c):(c×a)=1:2:3(1)求△ABC的三边之比（2）若△ABC的面积为2根号11,求三角形ABC的周长（3）若△ABC的BC边上的中线长为3,求BC边上的高
（1）由于 BC+CA+AB=0 向量,因此 a+b+c=0 向量,
乘以 a 得 a^2+a*b+a*c=0 ,
因此 a*b+a*c= -a^2 ,------------------①
同理 b*c+b*a= -b^2 ,------------------② c*a+c*b= -c^2 ,---------------③
三式相加除以 2 得 a*b+b*c+c*a= -(a^2+b^2+c^2)/2 ,
分别减去 ①、②、③ 可解得 a*b=(c^2-a^2-b^2)/2 ,b*c=(a^2-b^2-c^2)/2 ,c*a=(b^2-c^2-a^2)/2 ,
设 a*b=k ,b*c=2k ,c*a=3k ,代入上式可解得
a^2= -4k ,b^2= -3k ,c^2= -5k ,
所以,三角形 ABC 三边之比为 |a|：|b|：|c|=2：√3：√5 .
（2）设三角形三边分别为 |a|=2m,|b|=√3*m ,|c|=√5*m ,
由余弦定理得 cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=2/√15 ,因此 sinA=√11/√15 ,
S=1/2*bcsinA=1/2*√15*m^2*√11/√15=2√11 ,解得 m=2 ,
所以三角形周长为 a+b+c=2(2+√3+√5).
（3）设 BC 中点为 D ,则向量 AD=1/2*(AB+AC) ,即 AD=1/2*(c-b) ,
平方可得 9=1/4*(c^2+b^2-2b*c) ,
沿用（1）的记号,可得 9=1/4*(-5k-3k-4k) ,解得 k= -3 ,
所以 |a|=√12 ,|b|=3 ,|c|=√15 ,
由于 |AD|=|AC|=3 ,|DC|=1/2*|BC|=√3 ,
因此BC边上的高为 √[AD^2-(DC/2)^2]=(√33)/2 .