在四棱锥P—ABCD中底面ABCD为平行四边形、角ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点、PO=2且垂直平面ABCD、M是PD中点（1）证明PB平行平面ACM（2）证明AD⊥平面PAC（3）求直线与平面ABCD所成角的正切值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 18:43:07

在四棱锥P—ABCD中底面ABCD为平行四边形、角ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点、PO=2且垂直平面ABCD、M是PD中点（1）证明PB平行平面ACM（2）证明AD⊥平面PAC（3）求直线与平面ABCD所成角的正切值
在四棱锥P—ABCD中底面ABCD为平行四边形、角ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点、PO=2且垂直平面ABCD、
M是PD中点（1）证明PB平行平面ACM（2）证明AD⊥平面PAC（3）求直线与平面ABCD所成角的正切值

在四棱锥P—ABCD中底面ABCD为平行四边形、角ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点、PO=2且垂直平面ABCD、M是PD中点（1）证明PB平行平面ACM（2）证明AD⊥平面PAC（3）求直线与平面ABCD所成角的正切值
（I）证明：连接BD,MO
在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,
所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）证明：因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,AC∩PO=O,AD⊥平面PAC
（III）取DO中点N,连接MN,AN
因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN= 1/2PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中,AD=1,AO=12,所以 DO=52,
∴ AN=1/2DO=5/4
在Rt△ANM中,tan∠ANM=MN/AN=1/5/4=4/5
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为 4/5

全部展开

（I）证明：连接BD，MO
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，
所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）取DO中点N，连接MN，AN
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN= PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，，所以，
∴
在Rt△ANM中，
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为

收起