作业帮已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 23:15:39
已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=
最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
已知[an}是等差数列,公差d≠0,{an}的部分通项ak1,ak2,……akn恰为等比数列,若k1=1,k2=5,k3=17,则k2+2k2+3k3+……nkn=最后是k1+2k2+3k3+……nkn=
由题意得：a1、a5、a17成等比数列
∴a5² = a1·a17
a5 = a1+4d
a17=a1+16d
∴(a1+4d)² = a1·(a1+16d)
展开得：a1² + 8d·a1 + 16d² = a1² + 16d·a1
∴16d² = 8d·a1
∴a1=2d
∴a5=a1+4d=2d+4d=6d,a17=a1+16d=2d+16d=18d
∴等比数列的公比 q = 3
∴在等比数列{a(kn)}中
a(kn)=ak1·3^(n-1) = a1 ·3^(n-1) = 2d·3^(n-1) …… ①
又∵在等差数列{an}中
a(kn)=a1 + (kn - 1)d = 2d + (kn - 1)d = (kn + 1)d …… ②
∴由①②,得：
2d·3^(n-1) = (kn + 1)d
∴kn = 2·3^(n-1) - 1
∴ nkn = 2n·3^(n-1) - n
分成两部分求和：
第一部分2n·3^(n-1) ：
Rn = 2×3^0 + 4×3^1 + 6×3^2 + …… + 2n×3^(n-1)
3Rn = 2×3^1 + 4×3^2 + …… + 2(n-1)×3^(n-1) + 2n×3^n
两式相减,得：
2Rn = 2n×3^n - [2×3^0 + 2×3^1+2×3^2 + …… + 2×3^(n-1)]
= 2n×3^n - 2(1 - 3^n)/(1-3)
=(2n-1)3^n + 1
∴Rn = [(2n-1)3^n + 1] /2
第二部分 - n ：
Tn = -1 - 2 - 3 - 4 - …… - n = - (n+1)n/2
∴Sn = Rn + Tn= [(2n-1)3^n + 1] /2 - (n+1)n/2
= [(2n-1)3^n - n² - n + 1] /2