在任意的100个自然数中,是否总可以找一些数来(可以是一个数),它们的和能被100整除?说明理由

在任意的100个自然数中,是否总可以找一些数来(可以是一个数),它们的和能被100整除?说明理由
在任意的100个自然数中,是否总可以找一些数来(可以是一个数),它们的和能被100整除?说明理由

在任意的100个自然数中,是否总可以找一些数来(可以是一个数),它们的和能被100整除?说明理由
是的,下面来证明一下.
设这一百个数是a1,a2,...,a100,考虑这100个数b1,b2,...,b100,定义如下：
b1=a1
b2=a1+a2
b3=a1+a2+a3
...
b100=a1+a2+a3+...+a99+a100
如果b1...b100里有能被100整除的,则目的已经达到.
反之,如果b1,...,b100里没有被100整除的,考虑这100个数除以100的余数,因为不能余0,也就是说余数只能是1到99里找,则由抽屉定理,b数里一定有两个数模100是同余的.
设b(i)和b(j)是同余的,i则b(j)-b(i)是100的倍数,即a(i+1)+...a(j)是100的倍数,所以我们最终还是找到了和被100整除的的子集.
如果改成“任意99个自然数...和能被100整除?”,命题就不成立了,比如所有数都是1的情况.