P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH垂直平面ABC于H求证（1）H是△ABC的垂心（注意：是垂心,不是重心）（2）△ABC为锐角三角形

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:05:06
P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH垂直平面ABC于H求证（1）H是△ABC的垂心（注意：是垂心,不是重心）（2）△ABC为锐角三角形

P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH垂直平面ABC于H求证（1）H是△ABC的垂心（注意：是垂心,不是重心）（2）△ABC为锐角三角形
P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH垂直平面ABC于H
求证
（1）H是△ABC的垂心（注意：是垂心,不是重心）
（2）△ABC为锐角三角形

P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH垂直平面ABC于H求证（1）H是△ABC的垂心（注意：是垂心,不是重心）（2）△ABC为锐角三角形
(1)∵PA⊥PB,PC⊥PA
∴PA⊥面PBC
∴PA⊥BC
∵PH垂直平面ABC
∴PH⊥BC
∴BC⊥面APH
连结AH并延长交与BC
则AH⊥BC
∴AH为BC边上的高
同理可得BH,CH分别为AC,ZB上的高
∴H是△ABC的垂心
（2）因为∠PAB,∠PAC,∠PBA,∠PBC,∠PCA,∠PCB都是锐角,所以∠PAH,∠PBH,∠PCH为锐角,所以点P在面ABC的射影点H在△ABC内,我们知道垂心在△ABC内的三角形是锐角三角形,所以△ABC为锐角三角形.
希望我的答案对你会有所帮助,加油!

证明：（1）连接AH、BH、CH
因为PA⊥PB，PA⊥PC且PB∩PC=P
所以PA⊥面PBC
则BC⊥PA
又因为PH⊥平面ABC
所以BC⊥PH，而PH∩PA=P
所以BC⊥面PAH
所以AH⊥BC
同理可证BH⊥BC、CH⊥BC
所以H是△ABC的垂心得证；
（2）因为PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA

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证明：（1）连接AH、BH、CH
因为PA⊥PB，PA⊥PC且PB∩PC=P
所以PA⊥面PBC
则BC⊥PA
又因为PH⊥平面ABC
所以BC⊥PH，而PH∩PA=P
所以BC⊥面PAH
所以AH⊥BC
同理可证BH⊥BC、CH⊥BC
所以H是△ABC的垂心得证；
（2）因为PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA
所以AB2=PA2+PB2，AC2=PA2+PC2，BC2=PB2+PC2，
所以（AC2+BC2）-AB2=2PC2>0
即A为锐角
同理可证B、C也为锐角
所以△ABC是锐角三角形得证。
希望能帮到你！

收起

1。连结AH并延长交BC于E，PA垂直PB，PA垂直PC，推出PA垂直面PBC，推出PA垂直BC
由PH垂直面ABC，推出PH垂直BC
所以BC垂直面PAE，所以BC垂直AE，即AE是BC边上的高
其余同理可证
2。

延长bh交ac于m点 又因为 PA⊥PB，PB⊥PC 所以PB垂直面PAC
又因为 ph垂直底面 所以ac 垂直 ph
由上又得pb垂直 ac 所以 ac垂直面pbm 所以ac垂直bm
同理 得 H是△ABC的垂心

如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于H.求证： 如图,P为△ABC所在平面外一点,PB=BA,PC=CA.求证:PA⊥BC p为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于点H,求证1.H为△ABC的垂心2.△ABC为锐角三角形 已知P是△ABC所在平面外一点,PA⊥BC,PB⊥AC 求证：PC⊥AB 【紧急·高一数学】过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,且点O是△ABC 的垂心,求证：OA⊥BC,OB⊥AC P为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥ PB,PB ⊥PC,PC ⊥PA,PH ⊥平面ABC于H.求证：1 H是三角形ABC的垂心 2 三角形ABC为锐角三角形 已知P是△ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,∠BAC=90°,求证:平面PBC⊥平面ABC 如图已知点P是直角三角形ABC所在平面外一点,AB为斜边且PA=PB=PC求证平面PAB⊥平面 已知△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC.谢谢各位老大哥! 已知△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC. 在△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC 已知P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心求证：PH⊥平面ABC（图为空间四边形P-ABC） 已知P为△ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求P点到平面ABC的距离 △ABC所在平面α外一点P,O为P在平面ABC上的射影,连接PA,PB,PC若PA=PB=PC,AB=AC,则0在（）线上 在三角形ABC所在平面外一点P,PA=PB,BC垂直平面PAB,M为PB中点,N为AB上的一点 已知三角形ABC中,角ABC=90,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证平面PAC垂直平面ABC. 已知三角形ABC中,角ABC=90度,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC.求证：平面PAC垂直平面ABC. P是Rt△ABC所在平面外的一点,O是斜边AC的中点,且PA=PB=PC,求证：PO⊥平面ABC