作业帮关于数列的题已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2^n+b,且a1=3 （1）求a、b的值及{an}的通项公式 （2）设bn=n/an,求数列{bn}的前n项和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:56:36
关于数列的题已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2^n+b,且a1=3 （1）求a、b的值及{an}的通项公式 （2）设bn=n/an,求数列{bn}的前n项和Tn
关于数列的题
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2^n+b,且a1=3 （1）求a、b的值及{an}的通项公式 （2）设bn=n/an,求数列{bn}的前n项和Tn
关于数列的题已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2^n+b,且a1=3 （1）求a、b的值及{an}的通项公式 （2）设bn=n/an,求数列{bn}的前n项和Tn
Sn=a·2^n+b
a1=S1=2a+b=3
a2=S2-S1=4a+b-(2a+b)=2a
a3=S3-S2=(8a+b)-(4a+b)=4a
等比数列{an}
a1*a3=a2^2
a1=a=3
a2=6
a3=12 2a+b=3 a=3 b=-3
（1）Sn=a·2^n+b
所以a1=S1=2a+b=3
a2=S2-S1=4a+b-(2a+b)=2a
a3=S3-S2=(8a+b)-(4a+b)=4a
因为{an}为等比数列
所以a1*a3=a2^2
a1=a=3
a2=6
a3=12 2a+b=3 a=3 b=-3
所以Sn=3·2^n-3<...
全部展开
（1）Sn=a·2^n+b
所以a1=S1=2a+b=3
a2=S2-S1=4a+b-(2a+b)=2a
a3=S3-S2=(8a+b)-(4a+b)=4a
因为{an}为等比数列
所以a1*a3=a2^2
a1=a=3
a2=6
a3=12 2a+b=3 a=3 b=-3
所以Sn=3·2^n-3
S(n-1)=3·2^(n-1)-3
Sn-S(n-1)=an=3·2^n-3·2^(n-1)=3·2^(n-1)
当n=1时,an=0≠3
当n=2时,an=6=a2
所以an=3(n=1)或3·2^(n-1)(n≥2)
（2）bn=2n/(3·2^n)
所以Tn=2/3(1/2^1+2/2^2+3/2^3+4/2^4+5/2^5+......+n/2^n)
令g(n)=1/2^1+2/2^2+3/2^3+4/2^4+5/2^5+......+n/2^n,则
1/2g(n)= 1/2^2+2/2^3+3/2^4+4/2^5+......+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
相减得
1/2g(n)=1/2^1+1/2^2+1/2^3+1/2^4+1/2^5+......+1/2^n-n/2^(n+1)
1/2g(n)=1-1/2^n-n/2^(n+1)
所以g(n)=2-2/2^n-n/2^n
所以T(n)=2/3(2-2/2^n-n/2^n)
收起
公比是2，S1=a1 2a+b=3 S2=a1+a2 4a+b=3+6 解两个方程，a=3， b=-3
an=3*2^(n-1)
bn=n/3*2^(n-1)
Tn=b1+b2+b3+...+bn=1/3[1+1/2+1/4+1/8...+1/2^(n-1)]=1/3*(公比是1/2的等比数列带公式)