△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.垂足分别为E、F、G求证(1)DE+DF=BG(2)若D在BC的延长线上时,结论怎样,亲写出你的猜想,并给予证明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 01:19:03
△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.垂足分别为E、F、G求证(1)DE+DF=BG(2)若D在BC的延长线上时,结论怎样,亲写出你的猜想,并给予证明

△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.垂足分别为E、F、G求证(1)DE+DF=BG(2)若D在BC的延长线上时,结论怎样,亲写出你的猜想,并给予证明
△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.垂足分别为E、F、G求证(1)DE+DF=BG
(2)若D在BC的延长线上时,结论怎样,亲写出你的猜想,并给予证明

△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.垂足分别为E、F、G求证(1)DE+DF=BG(2)若D在BC的延长线上时,结论怎样,亲写出你的猜想,并给予证明
(1)DE+DF=BG
证明:
作DH⊥BG于H
∵BG⊥AC
∴DH//AC 
∴∠HDB =∠C 
∵DF ⊥AC 
∴四边形DFGH为矩形
∴DF=HG
∵AB=AC
∴∠EBD=∠C=∠HDB
∵DE⊥AB
∴∠BED=∠DHB=90º
又∵BD=DB
∴⊿BED≌⊿DHB(AAS)
∴DE=BH
∴DE+DF=BH+HG=BG
(2)DE-DF=BG
证明:
作DH⊥BG交BG延长线于H
∵BG⊥AC
∴DH//AC 
∴∠HDB =∠ACB 
∵DF ⊥AC 
∴四边形DFGH为矩形
∴DF=HG
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=∠HDB
∵DE⊥AB
∴∠BED=∠DHB=90º
又∵BD=DB
∴⊿BED≌⊿DHB(AAS)
∴DE=BH
∴DE-DF=BH-HG=BG

很明显 d为bc的中点,则 ,DE=DF,三角形dfc与bgc形似可知,BG=2DF,SO: BG=DE+DF