已知a>0,函数f(x)=|x-2a|/(x+2a)在区间[1,4]上的最大值等于1/2,则a的值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 00:11:06
已知a>0,函数f(x)=|x-2a|/(x+2a)在区间[1,4]上的最大值等于1/2,则a的值

已知a>0,函数f(x)=|x-2a|/(x+2a)在区间[1,4]上的最大值等于1/2,则a的值
已知a>0,函数f(x)=|x-2a|/(x+2a)在区间[1,4]上的最大值等于1/2,则a的值

已知a>0,函数f(x)=|x-2a|/(x+2a)在区间[1,4]上的最大值等于1/2,则a的值

由于函数中带有绝对值,必须分类讨论.

1.首先讨论x-2a恒大于零或恒小于零的情况.

    1)x-2a在区间[1,4]上恒大于零.

            x-2a>0,解得a<x/2;

            当x取1时,可满足x-2a在区间[1,4]上恒大于零,即

            a<1/2

            此时原函数变为f(x)=(x-2a)/(x+2a),变换为:

            f(x)=1-4a/(x+2a),可知该函数在该定义域上为增函数,在x=4时,取到最大值,此时:

            a=2/3

            由于不满足a<1/2的假设,所以舍去.

    2)x-2a在区间[1,4]上恒小于零.

            x-2a<0,解得a>x/2;

            当x取4时,可满足x-2a在区间[1,4]上恒小于零,即

            a>2

            此时原函数变为f(x)=-(x-2a)/(x+2a),变换为:

            f(x)=4a/(x+2a)-1,可知该函数在该定义域上为减函数,在x=1时,取到最大值,此时:

            a=3/2

            由于不满足a>2的假设,所以舍去.

2.讨论x-2a在该区间上既大于零有小于零的情况.

    由前面讨论可知,当1/2<a<2时,x-2a在该区间上既有大于零时又有小于零时,

    1)当x<2a时,x-2a<0.此时函数变为

        f(x)=4a/(x+2a)-1

        可知该函数在[1,2a)时为减函数,在x=1时,取到最大值.

    2)当x>2a时,x-2a>0.此时函数变为

        f(x)=1-4a/(x+2a)

        可知函数在(2a,4]时为增函数,在x=4时,取到最大值.

    总之,此时函数在该区间上先减后增.在端点处取到最大值.

    1)函数在x=1处取到最大值.

        可解得a=3/2.

        此时函数变为:f(x)=|x-3|/(x+3)

        将函数的另一个最大值点x=4带入得:

        f(4)=1/7.

        因为f(1)>f(4),所以满足条件.

matlab函数:

>> syms x;

>> y=sym(abs(x-3)/(x+3));

>> ezplot(y)

>> axis([1,4,0,1])

>> subs(y,'x','1')

ans =

 

1/2

>> subs(y,'x','4')

ans =

 

1/7

    2)函数在x=4处取到最大值.

        可解得a=2/3.

        此时函数变为:f(x)=|x-4/3|/(x+4/3)

        将函数的另一个最大值点x=1带入得:

        f(1)=1/7.

        因为f(1)<f(4),所以满足条件.

matlab函数:

>> syms x;

>> y=sym(abs(x-4/3)/(x+4/3));

>> ezplot(y)

>> axis([1,4,0,1])

>> subs(y,'x','4')

ans =

 

1/2

>> subs(y,'x','1')

ans =

 

1/7

总之,a=2/3或a=3/2