作业帮f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 21:07:27
f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,
若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
函数f(x)是偶函数,则：f(－x)=f(x)
又：函数f(x＋1)是奇函数,则：f(－x＋1)=－f(x＋1),即：f(－x)=－f(x＋2)=f(x)
则：
－f(x＋4)=f(x＋2)=－f(x)
即：
f(x＋4)=f(x)
函数f(x)的周期是T=4
又：f(x＋1)是奇函数,则：f(0＋1)=0,得：f(1)=0
f(2)=2012
f(3)=－f(－1)=－f(1)=0
f(4)=－f(－2)=－f(2)=－2012
则：
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)=0
则：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)=503×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]=0
由“将f(x)的图像向左平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象”可知f(x)关于点（1,0）对称。
下面我们证明f(x)是以4为周期的周期函数：
f(x)=f(-x) （因为f(x)为偶函数）
=-f(x+2) （因为f(x)关于点（1,0）对称）
在f(x)=-f(x+2)中，有x的任意性，将x用x+2替换，可得
f(x+2)=...
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由“将f(x)的图像向左平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象”可知f(x)关于点（1,0）对称。
下面我们证明f(x)是以4为周期的周期函数：
f(x)=f(-x) （因为f(x)为偶函数）
=-f(x+2) （因为f(x)关于点（1,0）对称）
在f(x)=-f(x+2)中，有x的任意性，将x用x+2替换，可得
f(x+2)=-f(x+4)
所以f(x)=f(x+4).
因为f(x)关于点（1,0）对称，
所以f(1)=0
f(3)=f(-1)=f(1)=0
f(4)=f(0)=-f(2)
所以f(1)+f(2)+f(3)+.....+f(2012)=503[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.
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