作业帮在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为AD、AB的中点.求证：EF平行平面CB1D1；平面CAA1C1垂直CB1D1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 00:02:18
在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为AD、AB的中点.求证：EF平行平面CB1D1；平面CAA1C1垂直CB1D1
在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为AD、AB的中点.求证：EF平行平面CB1D1；平面CAA1C1垂直CB1D1
在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为AD、AB的中点.求证：EF平行平面CB1D1；平面CAA1C1垂直CB1D1
(1)EF∥平面CB1D1
连接BD
∵BD∥B1D1
又E、F分别为AD、AB的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF∥BD
∴EF∥B1D1
又B1D1〔平面CB1D1,EF￠平面CB1D1
∴EF∥平面CB1D1
(2)平面CAA1C1⊥平面CB1D1
易知：AA1⊥平面A1B1C1D1
而B1D1〔平面A1B1C1D1
∴AA1⊥B1D1
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1
∴B1D1⊥平面CAA1C1
又B1D1〔平面CB1D1
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1
(1)EF∥平面CB1D1
连接BD
∵BD∥B1D1
又E、F分别为AD、AB的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF∥BD
∴EF∥B1D1
又B1D1〔平面CB1D1，EF￠平面CB1D1
∴EF∥平面CB1D1
(2)平面CAA1C1⊥平面CB1D1
易知：AA1⊥平面A1B1C1D1
而B1D1〔平面...
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(1)EF∥平面CB1D1
连接BD
∵BD∥B1D1
又E、F分别为AD、AB的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF∥BD
∴EF∥B1D1
又B1D1〔平面CB1D1，EF￠平面CB1D1
∴EF∥平面CB1D1
(2)平面CAA1C1⊥平面CB1D1
易知：AA1⊥平面A1B1C1D1
而B1D1〔平面A1B1C1D1
∴AA1⊥B1D1
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1
∴B1D1⊥平面CAA1C1
又B1D1〔平面CB1D1
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1参考资料：【注】“〔”即符号包含
收起
1.EF一定平行BD,而BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，B1D1属于平面CB1D1，所以EF平行平面CB1D1
2.B1D1⊥A1C1,B1D1⊥CC1，所以B1D1垂直平面CAA1C1，B1D1属于平面CB1D1，所以平面CAA1C1垂直CB1D1
EF平行BD平行B1D1，而B1D1在平面CB1D1内
故EF平行平面CB1D1
BD垂直AC，EF平行BD平行B1D1，故B1D1垂直AC
AA1垂直BD，AA1垂直 B1D1
所以B1D1垂直平面CAA1C1
而B1D1在平面CB1D1内
所以平面CAA1C1垂直CB1D1
连BD,由三角形中位线定理得EF平行BD…………（1）
四边形BDD1B1中，因为BB1平行且等于DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，
所以BD平行B1D1…………（2）
由（1）、（2）得EF平行B1D1，
EF在平面CB1D1外，
所以EF平行平面CB1D1。
B1D1垂直A1C1(正方形的对角线）…………（3）
又AA1垂直平面...
全部展开
连BD,由三角形中位线定理得EF平行BD…………（1）
四边形BDD1B1中，因为BB1平行且等于DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，
所以BD平行B1D1…………（2）
由（1）、（2）得EF平行B1D1，
EF在平面CB1D1外，
所以EF平行平面CB1D1。
B1D1垂直A1C1(正方形的对角线）…………（3）
又AA1垂直平面A1B1C1D1，所以AA1垂直B1D1…………（4）
由（3）、（4）得B1D1垂直平面CAA1C1，
所以平面CB1D1垂直平面CAA1C1，
即平面CAA1C1垂直CB1D1
收起
1.证明：E、F分别为AD、AB的中点，EF∥BD，又因B1D1∥BD，所以EF∥B1D1
故 EF平行平面CB1D1
2.由题意可知：平面CAA1C1与CB1D1的交线为CO1（O1为A1C1和B1D1的交点）
△CO1D1≌△CO1B1 ∠CO1B1=90°所以：平面CAA1C1垂直CB1D1