作业帮已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)f(x)+f(y).求证f(x)+f(-x)=0 若f(-3)=a,试用a表示f(24)求证f(x)+f(-x)=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 06:42:08
已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)f(x)+f(y).求证f(x)+f(-x)=0 若f(-3)=a,试用a表示f(24)求证f(x)+f(-x)=0
已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)f(x)+f(y).求证f(x)+f(-x)=0 若f(-3)=a,试用a表示f(24)
求证f(x)+f(-x)=0
已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)f(x)+f(y).求证f(x)+f(-x)=0 若f(-3)=a,试用a表示f(24)求证f(x)+f(-x)=0
f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0
得到
f(0+0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
令y=-x
得到f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(3)=-a
f(3+3+3+3+3+3+3+3)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)+f(3)+f(3)+f(3)+f(3)
f(24)=-8a
取x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0)
得:f(0)=0
取y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(24)=f(21)+f(3)=f(18)+f(3)+f(3)=...=8f(3)
f(3)+f(-3)=0
f(3)=-f(-3)=-a
f(24)=-8a
f(x+y)=f(x)+f(y)
当x=y=0时；
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
所以：f(x)+f(-x)=0
f(0)=f(3)+f(-3)
f(3)+a=0
f(3)=-a
f(6)=f(3)+f(3)=-2a
f(12)=f(6)+f(6)=-4a
f(24)=f(12)+f(12)=-8a
首先你这里应该少了一个等号f(x+y)=f(x)+f(y)
证明：令x=y=0 则f(0)=f(0)+f(0） 即f(0)=0
再令y=-x
那么有0=f(0)=f(x)+f(-x)
由于f(x)+f(-x)=0 且f(-3)=a 所以f(3)=-a f(24)=2f(12)=4f(6)=8f(3)=-8a