作业帮已知抛物线C1：x^2=y,圆C2：x^2+(y-4)^2的圆心为点M.已知点P是抛物线C1上的一点（异于原点）,过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1与A.B两点,若过M.P两点的直线L垂直与AB,求直线L的方程?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 18:23:05
已知抛物线C1：x^2=y,圆C2：x^2+(y-4)^2的圆心为点M.已知点P是抛物线C1上的一点（异于原点）,过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1与A.B两点,若过M.P两点的直线L垂直与AB,求直线L的方程?
已知抛物线C1：x^2=y,圆C2：x^2+(y-4)^2的圆心为点M.已知点P是抛物线C1上的一点（异于原点）,过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1与A.B两点,若过M.P两点的直线L垂直与AB,求直线L的方程?
已知抛物线C1：x^2=y,圆C2：x^2+(y-4)^2的圆心为点M.已知点P是抛物线C1上的一点（异于原点）,过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1与A.B两点,若过M.P两点的直线L垂直与AB,求直线L的方程?
设点P（x0,x02）,A（x1,x1^2）,B（x2,x2^2）；
由题意得：x0≠0,x2≠±1,x1≠x2,
设过点P的圆c2的切线方程为：y-x02=k（x-x0）即y=kx-kx0+x02①
则 |kx0+4-x02|/根号1+k2=1,即（x02-1）k2+2x0（4-x02）k+（x02-4）2-1=0,
设PA,PB的斜率为k1,k2（k1≠k2）,则k1,k2应该为上述方程的两个根,
∴ k1+k2=2x02(x02-4)/x02-1,k1•k2=(x02-4)2-1/x02-1；
代入①得：x2-kx+kx0-x02=0 则x1,x2应为此方程的两个根,
故x1=k1-x0,x2=k2-x0
∴kAB=x1+x2=k1+k2-2x0= 2x0(x02-4)/(x02-1)-2x0,kMP=x02-4/x0由于MP⊥AB,∴kAB•KMP=-1⇒ x02=23/5
故P (±根号23/5,23/5)∴ 直线l的方程为：y=±3x根号115/115 +4．