用反证法证明:1,根号2,3不可能是一个等差数列中的三项

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 13:21:20
用反证法证明:1,根号2,3不可能是一个等差数列中的三项

用反证法证明:1,根号2,3不可能是一个等差数列中的三项
用反证法证明:1,根号2,3不可能是一个等差数列中的三项

用反证法证明:1,根号2,3不可能是一个等差数列中的三项
反证法,假设1,根号2,3能是一个等差数列中的三项,
设等差数列的首项为a,公差d,1,√2,3分别是等差数列的第m,n,k项,则
1=a+(n-1)d,(1)
√2=a+(m-1)d,(2)
3=a+(k-1)d,(3)
(2)-(1)得√2-1=(m-n)d,
(3)-(1)得2=(k-n)d,
将上面两式相除得
(√2-1)/2=(m-n)/(k-n)
这是不可能的,上式右边是有理数,但左边却是无理数.

反证法:
假设1,根号2,3是一个等差数列中的三项,设为am,an,ak,则
an-am)/(ak-am)=(√2-1)/(3-1)=(√2-1)/2为无理数
另一方面,(an-am)/(ak-am)=(n-m)/(k-m)是有理数,矛盾。
得证。