作业帮如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:05:38
如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则为多少
如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,
使PD+PE的和最小,则为多少
如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则为多少
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD
AB=AD=A=BC=CD=√10
∵△ABE是等边三角形
∴AB=BE=AE=√10
要使PD+PE的和最小
以AC为对称轴,做D的对称点,由于BD⊥AC
所以D的对称点恰好是B,连接BE ,那么BE与AC的交点P就是要找的点.
所以PD+PE的和最小恰好等于BE=√10
∴PD+PE的最小值为√10
BE与AC的交点即为所求的P点。 如图，作E关于AC的对称点E'，连接PE、PD，EE'与AC的交点为F 则AC是EE'的垂直平分线 先证明D、P、E'三点共线 ∵∠ABE=60°，∠BAC=45°，∴∠BPA=180°-60°-45°=75° ∴∠EPF=∠BPA=105°，∴∠PEF=90°-∠EPF=15° ∴∠BPE'=∠E'+∠PEF=2∠PEF=30° ∵AB=AD、∠BAC=∠DAC=45°，AP为公共边，∴△BAP≌△DAP ∴∠DPA=∠BPA=75° ∴∠BPE'+∠BPA+∠DPA=30°+75°+75°=180°，∴D、P、E'三点共线 在AC上另取一点P'，连接P'D、P'E' ∵AC是EE'的垂直平分线，∴P'E=P'E' ∴P'E+P'D=P'E'+P'D 在△P'DE'中，有P'D+P'E'＞DE'(两边之和大于第三边) ∴P'E+P'D＞DE'=DP+EP ∴P是使PD+PE的和最小的点 