作业帮已知数列｛an｝满足na（n+1下角标）=2（n+1）an（n为N*）,a1=1.（1）求证：｛an除以n｝为等比数列（2）求数列｛an｝的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 02:37:15
已知数列｛an｝满足na（n+1下角标）=2（n+1）an（n为N*）,a1=1.（1）求证：｛an除以n｝为等比数列（2）求数列｛an｝的通项公式
已知数列｛an｝满足na（n+1下角标）=2（n+1）an（n为N*）,a1=1.
（1）求证：｛an除以n｝为等比数列
（2）求数列｛an｝的通项公式
已知数列｛an｝满足na（n+1下角标）=2（n+1）an（n为N*）,a1=1.（1）求证：｛an除以n｝为等比数列（2）求数列｛an｝的通项公式
(1)
na（n+1下角标）=2（n+1）an
两边同时除以n(n+1)
a(n+1)/(n+1)=2an/n
所以 {a(n)/n}是等比数列,公比是2,首项为a1/1=1
（2）
an/n=1*2^(n-1)
所以 an=n*2^(n-1)
【【证明】】
由a1=1,及递推式：n[a(n+1)]=2(n+1)(an)可得：
a1=1, a2=4, a3=12.
构造数列：bn=(an)/n, n=1,2,3,,,,,
易知， b1=1, b2=2, b3=4.且结合上面递推式可知：
b(n+1)=2(bn)
∴数列｛bn}是等比数列，首项b1=1,公比q=2.
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【【证明】】
由a1=1,及递推式：n[a(n+1)]=2(n+1)(an)可得：
a1=1, a2=4, a3=12.
构造数列：bn=(an)/n, n=1,2,3,,,,,
易知， b1=1, b2=2, b3=4.且结合上面递推式可知：
b(n+1)=2(bn)
∴数列｛bn}是等比数列，首项b1=1,公比q=2.
通项：bn=2^(n-1), n=1,2,3....
∴数列{(an)/n}是等比数列，通项an=n×2^(n-1). n=1,2,3....
收起
等式两边同除以(n+1)n,得到a（n+1下角标）/(n+1)=2an/n,又a1/1=1,所以：｛an除以n｝是以1为首项2为公比的等比数列。（2）an/n=2∧(n-1)，故an=n×2∧(n-1)
1.na（n+1下角标）=2（n+1）an（n为N*）
a（n+1下角标）/（n+1）=2 an/n
( a（n+1下角标）/（n+1）)/(an/n)=2(常数）（n为N*）
所以｛an除以n｝为等比数列
2.由1可得 ( a（n+1下角标）/（n+1）)/(an/n)=2(常数）（n为N*）
所以an/n=2^(n-1)乘以（a1/1）=...
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1.na（n+1下角标）=2（n+1）an（n为N*）
a（n+1下角标）/（n+1）=2 an/n
( a（n+1下角标）/（n+1）)/(an/n)=2(常数）（n为N*）
所以｛an除以n｝为等比数列
2.由1可得 ( a（n+1下角标）/（n+1）)/(an/n)=2(常数）（n为N*）
所以an/n=2^(n-1)乘以（a1/1）=2^(n-1)
所以an=n乘以2^(n-1) （n为N*）
收起
原式两边同除以n(n+1)
可以等到An+1/n+1=2An/n
An+1/An=2
所以｛an除以n｝为等比数列，通项公式为2^(n-1)
所以｛an｝的通项公式为
n×2^(n-1)