作业帮高二数学,数学高手请进一个三棱锥三个侧面都是等腰直角三角形,侧棱长为a,求其内接球的体积?《过程》
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 18:12:49
高二数学,数学高手请进一个三棱锥三个侧面都是等腰直角三角形,侧棱长为a,求其内接球的体积?《过程》
高二数学,数学高手请进
一个三棱锥三个侧面都是等腰直角三角形,侧棱长为a,求其内接球的体积?《过程》
高二数学,数学高手请进一个三棱锥三个侧面都是等腰直角三角形,侧棱长为a,求其内接球的体积?《过程》
外接球,哪有内接球的说法啊
构造一个正方体,棱长为a
则正方体的外接球与三棱锥的外接球一样.
外接球的直径是对角线长,是√3a
即 球的半径为r=√3a/2
V=(4/3)πr³=√3πa³/2
题意可知：底面为正三角形，边长为：√（a²+a²）=√2 a.
从最高顶点(编号A)做底面的垂线（椎体高AE），做一底边的垂线（椎侧面高AG），可知球心在椎体高AE上，球在侧面的切点在AG上。为方便，球心编号为O，在侧面的切点为F。球半径为R.
则：连接GE,并延长至底面一顶点B。（或BG为底面三角形高、中线都行，反正是正三角形，高、中线合一了）。
（准...
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题意可知：底面为正三角形，边长为：√（a²+a²）=√2 a.
从最高顶点(编号A)做底面的垂线（椎体高AE），做一底边的垂线（椎侧面高AG），可知球心在椎体高AE上，球在侧面的切点在AG上。为方便，球心编号为O，在侧面的切点为F。球半径为R.
则：连接GE,并延长至底面一顶点B。（或BG为底面三角形高、中线都行，反正是正三角形，高、中线合一了）。
（准备工作完成，开始计算了。）
BG=底边长*cos60°=√2 a * √3/2=√6 a /2（2分之根号6倍的a）
EG=BG/3=√6 a /6，BE=2/3*BG=√6 a /3
AE=√（a²-BE²）=√3 a /3
相似关系有：AO/AE=R/EG, AO=AE-R
(AE-R)/AE=R/EG 变形后为：1/R=1/EG+1/AE，代入数值：
1/R=6/(√6 a)+3/(√3 a )，得R=√6 a/(6+3√2) =0.239a
体积V=4/3*3.14*R³=4/3*3.14*（0.239a）³=0.057a³ 。
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