证明：不存在n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 尽量容易理解的证法

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 06:54:05

证明：不存在n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 尽量容易理解的证法
证明：不存在n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 尽量容易理解的证法

证明：不存在n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 尽量容易理解的证法
用矩阵的迹
tr(A) = a11+a22+...+ann
性质:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
tr(AB) = tr(BA)
若 AB-BA=E
则 n = tr(E) = tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0
矛盾

全部展开

直接计算Trace(AB-BA)=Trace(AB)-Trace(BA)=0，但Trace(E)=n。所以不存在这样的矩阵。
至于杀鸡用牛刀的问题，我觉得，需要注意下面的一个事情。
假设V是一个线性空间，M是从V到V的线性映射。当V是有限维线性空间的时候，M可以写成矩阵的形式，仍然记成M，这时候有Trace(M)的定义。
如果V是无限维线性空间，一般不一定有Trace(M)的定义，而且确实有可能AB-BA=E。比如说V是（一元）多项式空间（也可以取成光滑函数空间或者解析函数空间），V里的元素都是一些函数，形如f(x)。这时候E作为恒等映射，把每个V中的元素映成自身，也就是Ef=f。现在取A把f映成f的导函数，即Af=f'；取B把f(x)映成g(x)=xf(x)，即Bf=xf。那么ABf-BAf=(xf)'-xf'=f=Ef，对任意f。也就是说AB-BA=E。
也就是说，对于无穷维的空间上的线性映射A、B，可以有AB-BA=E。只是对于有限维空间上的线性映射A、B，也就是n阶矩阵，才不可能AB-BA=E。而Trace又是对有限维算子能定义而对一般的无穷维算子不能定义的（因为Trace是“特征值”的和，而无穷维算子的“特征值”很多，加起来可能发散），所以可能比较适合这个问题。

收起

证明不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA＝AB+BB 证明：不存在任意n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 证明：不存在n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 尽量容易理解的证法证明:不存在任何n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E貌似这个有点杀鸡用牛刀的感觉，希望有简单的方法怎样证明不存在n阶方阵A,B 使得 AB-BA=E 是否存在两个n*n型的矩阵A.B,使得AB=I,BA不等于I.好像通过保阶的方向来思考，这个是不存在的。但是不知道如何严格地证明证明若A是n阶正定矩阵,则存在 n阶正定矩阵B,使得A=B^2 证明若A是n阶正定矩阵,则存在 n阶正定矩阵B,使得A=B^2 设A是n阶不可逆矩阵证明存在n阶非零矩阵B C 使得AB=CA=0 设A是n阶实对称证明a可逆的充分必要条件是存在n阶实矩阵b使得AB+B转置A是正定矩阵可逆的定义和推论《线代》上,逆矩阵的定义：对于n阶矩阵A,如果存在矩阵B,使得AB=BA=I,那么A称为可逆矩阵,而B称为A的逆矩阵.并且也可以证明,对于n阶矩阵A,且存在n阶矩阵B,使AB=I或BA＝I,则设A是n阶实矩阵,证明：r(A)=1的充要条件是存在n维非零列向量a,b使得 A=ab^T 设A是秩数为r的n阶矩阵,证明有n阶矩阵B使得秩(B)=n-r,且AB=BA=0.(会证AB=0,但不会AB=BA=0）设A、B均为n阶可逆矩阵,证明存在可逆矩阵P、Q,使得PAQ=B 4、设A是m×n矩阵,若存在非零的n×s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)﹤n.A = A 是mxn 矩阵,则存在矩阵B,使得AB = 0 且有r(A) +r(B)=n如何证明该命题呢? 设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A) 数学高代问题!请高手解答下!Thank you!设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明如果AB=BA,则B(A+B)^-1A=A(A+B)^-1B.