作业帮关于微分方程隐式通解的问题书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：再对G(y)=F(x)+C再求方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 13:54:39
关于微分方程隐式通解的问题书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：再对G(y)=F(x)+C再求方
关于微分方程隐式通解的问题
书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数
在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：
再对G(y)=F(x)+C再求方程的解时,书上的例子中的C有些却不是真正的任意实数(比如非0任意实数）,这让我很疑惑
我拿书上的一个例子吧：
解微分方程 dy/dx = -ky ,y>0
方程式可分离变量的,因此有dy/y = -kdx
得出lny = -kx + lnC ,lnC为任意常数
所以lny = -kx + lnC是方程的隐式通解
求出 y = Cln(-kx) ① 为方程的解
我的问题就在①处,通过隐式通解中的lnC是任意常数知道C应该是大于0的任意常数.
不符合微分方程通解的定义啊
难道在这种问题上,只要隐式通解中的常数是任意常数就够了?
关于微分方程隐式通解的问题书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：再对G(y)=F(x)+C再求方
实际上我们可以将解写为
lny=-kx+C1
即
y=e^(-kx+C)=e^(C1)*e^(-kx)
其中的C1是任意常数,这意味着它也可以是复数.
由欧拉公式
e^(it)=cost+isint
可以知道①中的C也可以是任意复数
事实上在解微分方程的过程中出现复数是很自然的,就连函数lnx的定义域也可以是复数(当然也可以是负数)
那个，①应该是y=Ce^(-kx)吧
你看书很认真，我看的时候没管这个
我讲讲我的看法
lny = -kx + lnC这个式子本身就有点问题
因为根据ln的定义，y与C必须是正数
但实际上y，C同号就可以了
可以化为ln(y/C)=-kx，得y=Ce^(-kx)
这样的话，对y，C就没有正负的限制了
一般在解微分方程的过程中，不会过多...
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那个，①应该是y=Ce^(-kx)吧
你看书很认真，我看的时候没管这个
我讲讲我的看法
lny = -kx + lnC这个式子本身就有点问题
因为根据ln的定义，y与C必须是正数
但实际上y，C同号就可以了
可以化为ln(y/C)=-kx，得y=Ce^(-kx)
这样的话，对y，C就没有正负的限制了
一般在解微分方程的过程中，不会过多的考虑取值
否则对变量有很大限制
到结果的地方检验下就行了
希望对你有帮助
收起
你自己都说了InC是任意常数，（这也符合原先的定义呀）可能写成InC是为了计算方便吧，这是我现在的理解方式。
其实我现在也非常迷惑着一点，任意常数C为啥非要写成InC的形式，想了想目前这个解释最合理了，希望对你有帮助...