作业帮自然对数 积分 ∫e^(-x^2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 19:57:28
自然对数 积分 ∫e^(-x^2)
自然对数 积分 ∫e^(-x^2)
自然对数 积分 ∫e^(-x^2)
这个积分只能用级数展开了,是超越函数.
本题若是求不定积分，则是不可能的，
因为被积函数的原函数是不可能用初等函数表示的。可以用变上限的定积分来表示：
F(x)=∫_0^x e^(-t^2)dt.
若是求0到正无穷，或负无穷到正无穷的无穷限广义积分，则可用如下的方法计算。
设D1:{(x,y)|x^2+y^2<=R^2,x>=0,y>=0},D2:{(x,y)|0<=x<=R,0<=y<=R},D3={...
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本题若是求不定积分，则是不可能的，
因为被积函数的原函数是不可能用初等函数表示的。可以用变上限的定积分来表示：
F(x)=∫_0^x e^(-t^2)dt.
若是求0到正无穷，或负无穷到正无穷的无穷限广义积分，则可用如下的方法计算。
设D1:{(x,y)|x^2+y^2<=R^2,x>=0,y>=0},D2:{(x,y)|0<=x<=R,0<=y<=R},D3={(x,y)|x>=0,y>=0.x^2+y^2<=R*根下2}. 则
∫∫_(D1)e^(-x^2-y^2) dxdy<=∫∫_(D2)e^(-x^2-y^2) dxdy<=∫∫_(D3)e^(-x^2-y^2) dxdy
而∫∫_(D2)e^(-x^2-y^2) dxdy＝∫_0^R e^(-x^2) dx ∫_0^R e^(-y^2) dy=[∫_0^R e^(-x^2) dx ]^2
在D1上的积分用极坐标计算得：
∫∫_(D1)e^(-x^2-y^2) dxdy＝∫_0^(2π)dθ∫_0^R e^(-r^2)rdr=π[1-e^(-R^2)]
∫∫_(D3)e^(-x^2-y^2) dxdy＝∫_0^(2π)dθ∫_0^(R*根下2) e^(-r^2)rdr=π[1-e^(-2R^2)]
于是π[1-e^(-R^2)]<=[∫_0^R e^(-x^2) dx ]^2<=π[1-e^(-2R^2)]
上式取极限(R-->+∞) ,利用挟逼定理得[∫_0^R e^(-x^2) dx ]^2＝π
于是∫_0^(+∞)R e^(-x^2) dx＝根下π。 于是
∫_(-∞)^(+∞)R e^(-x^2) dx=2倍的根下π.
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你是大一的学生吗？大一貌似不学概率密度。
首先，大学阶段不要求我们求这个不定积分。但其在数轴上或在半个数轴上的定积分，我们可以曲线的求出。
大二或大三要学《概率论与数理统计》，里面讲到标准正态分布的概率密度，其形式和你列举的式子类似。在负无穷到正无穷中对该式子做积分，即为标准正态分布在整个数轴上的值，为1。所以，把标准正态分布的概率密度中的1/(2pai)^(1/2)移到等式右边，...
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你是大一的学生吗？大一貌似不学概率密度。
首先，大学阶段不要求我们求这个不定积分。但其在数轴上或在半个数轴上的定积分，我们可以曲线的求出。
大二或大三要学《概率论与数理统计》，里面讲到标准正态分布的概率密度，其形式和你列举的式子类似。在负无穷到正无穷中对该式子做积分，即为标准正态分布在整个数轴上的值，为1。所以，把标准正态分布的概率密度中的1/(2pai)^(1/2)移到等式右边，即可得到在半个数轴上该定积分的数值。
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