求"集合的公理化定义"要是能顺便给出概率的公理化定义就更好了!

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求"集合的公理化定义"
要是能顺便给出概率的公理化定义就更好了!

求"集合的公理化定义"要是能顺便给出概率的公理化定义就更好了!
集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统,称为Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF).实际上,这个名称经常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理,当包括了选择公理,这套系统被称为ZFC.
外延公理:两个集合相同,当且仅当它们拥有相同的元素.
空集公理:存在着一个不包含任何元素的集合,我们记这个空集合为{}.
配对公理:假如x,y为集合,那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的谨有元素.
并集公理:每一个集合也有一个并集.也就是说,对于每一个集合x,也总存在着另一个集合y,而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素.
无穷公理:存在着一个集合x,空集{}为其元素之一,且对于任何x中的元素y,y U {y}也是x的元素.
分类公理（或子集公理）：给出任何集合及命题P(x),存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素.
替代公理
幂集公理:每一个集合也有其幂集.那就是,对于任何的x,存在着一个集合y,使y的元素是而且只会是x的子集.
正规公理 (or axiom of foundation):每一个非空集合x,总包含着一些元素y,使x与y为不交集.
选择公理:(Zermelo's version) 给出一个集合x,其元素皆为互不相交的非空集,那总存在着一个集合y（x的一个选择集合）,包含x每一个元素的谨谨一个元素.
【概率的定义】
随机事件出现的可能性的量度.概率论最基本的概念之一.人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试,某件事发生的可能性是多少,这都是概率的实例.
■概率的频率定义
随着人们遇到问题的复杂程度的增加,等可能性逐渐暴露出它的弱点,特别是对于同一事件,可以从不同的等可能性角度算出不同的概率,从而产生了种种悖论.另一方面,随着经验的积累,人们逐渐认识到,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示一定的稳定性.R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率,这就是概率的频率定义.从理论上讲,概率的频率定义是不够严谨的.A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义.
■概率的严格定义
设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.这里P(·)是一个集合函数,P(·)要满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A,有P(A)≥0;
（2）规范性：对于必然事件S,有P(S)=1;
（3）可列可加性：设A1,A2……是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj=φ,（i,j=1,2……）,则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
■概率的古典定义
如果一个试验满足两条：
（1）试验只有有限个基本结果；
（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.
这样的试验,成为古典试验.
对于古典试验中的事件A,它的概率定义为：
P(A)=m/n,n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目.m表示事件A包含的试验基本结果数.这种定义概率的方法称为概率的古典定义.
■概率的统计定义
在一定条件下,重复做n次试验,nA为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)=p.这个定义成为概率的统计定义.
在历史上,第一个对“当试验次数n逐渐增大,频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli,公元1654年～1705年）.
从概率的统计定义可以看到,数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标.
由于频率nA/n总是介于0和1之间,从概率的统计定义可知,对任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(Ω)=1,P(Φ)=0.
Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）.

概率的公理化定义

一、一、事件

二、概率空间

概率的统计定义，古典概型的概率以及几何概率都反映了部分客观实际．后两个克服了第一个的描述性定义的缺点，便于计算，但仍有不足之处．例如古典概型与几何概率都建立在“等可能性”的基础上，但是一般的随机试验不一定完全具备这种性质．而且对“等可能性”的不同理解甚至可能导致不同的答案．本节中我们先把统计概...

全部展开

概率的公理化定义

一、一、事件

二、概率空间

概率的统计定义，古典概型的概率以及几何概率都反映了部分客观实际．后两个克服了第一个的描述性定义的缺点，便于计算，但仍有不足之处．例如古典概型与几何概率都建立在“等可能性”的基础上，但是一般的随机试验不一定完全具备这种性质．而且对“等可能性”的不同理解甚至可能导致不同的答案．本节中我们先把统计概率、古典概率、几何概率等的性质抽象化，把其中最基本的因素作为规定（公理），其它性质则可由它们导出．

一、事件
随机试验中，除了那些基本结果——样本点以外，还可列出其它的一些结果．如在§2的例1中，还可能出现下面各种结果：
A={取得红球或白球}；
B={取得球的号数小于5}；
C={没有取得红球}
等等．这些都是事件．
如果把样本空间看成讨论问题的全集，样本点是全集中的元素，那么事件可以定义为样本空间中的某种子集，或者说是样本点的某种集合．在上面讨论的例子中，若取 作为样本空间，那末
A={ ;
B={ ;
C={ ．
事件一般用大写英文字母A, B, C, …表示．
如果一次试验中某样本点ω出现，而ω∈A，则称事件A发生．样本空间Ω自然也可看作一个事件．因为在每次试验中必然出现Ω中的一个样本点，也即Ω必然发生，所以Ω就是必然事件．类似地，把空集φ作为一个事件，它在每次试验中必定不发生，所以φ就是不可能事件．
把事件看作样本点的集合，这种观点使我们能用集合论的方法来研究事件，特别是可用集合之间的关系和运算来研究事件之间的关系和运算.下面就来叙述它们．
事件A包含B（B包含于A); 记作A B（或B A）．例如，若以A记“产值超过2亿”，以B记“产值超过3亿”．则A B．其含义为：事件B发生导致事件A发生，或者说，若ω∈B，则ω∈A．
事件A与B相等，记作A =B，表示A B并且B A．
事件A与B的和事件，记作A∪B，也称为A与B的并，表示A与B至少一个发生．例如仍以A记“产值超过1 亿”，而以B记“产值在0．5 亿和1．5亿之间”，则A∪B=“产值超过计划0．5亿”．
事件A与B的积事件，记作A∩B，(也记作AB)，表示事件A发生并且事件B也发生，即A与B两事件都发生．对上面的例子A∩B=“产值在1亿与1．5亿之间”．
事件A与B的差事件，记作A－B，表示A发生而B不发生，显然A－B= ．对上面的例子A－B=“产值超过1．5亿”．
如果A与B两事件不可能都发生，即A∩B=φ，就称A与B互不相容．在这种情形，有时以A+B代A∪B．
如果事件A与B不可能都发生，并且A与B至少发生一个，即A∩B=φ且A∪B=Ω, 就说B是A的逆事件（或对立事件，余事件)；记作B= (或 )；此时A也是B的逆事件．
事件的关系与运算满足集合论中有关集合运算的一切性质，例如
交换律：A∪B=B∪A，AB=BA；
结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）；
分配律：（A∪B）∩C=AC∪BC，
（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；
德莫根（De Morgan）律： , ;
对于几个事件，甚至对于无限可列个事件，德莫根律也成立．
读者要学会把集合论的写法与事件运算的有关意义互相翻译，要学会利用事件的运算把复杂事件分解成简单事件．
例1 若A, B, C是三个事件，则
{A与B都发生而C不发生}为AB 或AB－C或AB－ABC；
{A、B、C三事件都发生}为ABC；
{三事件恰好发生一个}为 ;
{三事件恰好发生两个}为 ;
{三事件至少发生一个}为A∪B∪C或 + +ABC．
例2 一系统由元件A与B并联所得的线路再与元件C串联而成（如图）．若以A、B、C表示相应元件能正常工作 的事件，那么事件W={系统能正常工作}={元件A与B至少一个能正常工作并且C能正常工作}=（A∪B）C或者AC∪BC．
图1-3
二、概率空间
概率空间包含三个要素．
第一要素为样本空间Ω，是样本点ω的全体，根据问题需要事先取定；
第二要素为事件域 , 是Ω中某些满足下列条件的子集的全体所组成的集类:
1． ；
2． 若 , 则 ；
3． 若 , 则 ．
满足这三个条件的 称为Ω上的σ-代数或σ-域． 中的元素（Ω的子集）称为事件．
由这三个条件，可以推得事件域有下列性质：
4． φ∈ ,（因φ= ）;
5． 若 ∈ , 则 ∈ ,（因 = ）;
6． 若 ∈ , 则 ∈ , ∈ ．
于是必然事件，不可能事件，事件的逆，有限和，有限交，可列和以及可列交等等都是事件，从而这些运算在事件域内都有意义．
事件域也可以根据问题选择．因为对同一样本空间Ω，可以有很多σ-代数，例如最简单的是 ={φ,Ω}，复杂的如 ={Ω的一切子集}也是σ-代数，因此要适当选择．特别常用的有：
若Ω为有限个或可列个样本点组成，则常取Ω的一切子集所成的集类作为 ，像在古典概型中所做那样．不难验证， 是σ-代数．
若Ω= (一维实数全体)，此时常取一切左开右闭有界区间和它们的并、交、逆所成的集的全体为 ，称为一维波雷尔(Borel)σ-代数，其中的集称为一维波雷尔集．它是比全体区间大得多的一个集类．
若Ω= （n维实数空间），则常取一切左开右闭有界n维矩形和它们的（有限或可列）并，（有限或可列）交、逆所成的集的全体为 ，它包含了我们感兴趣的所有情况，称为n维波雷尔σ-代数．
如果我们对Ω的某个子集类 感兴趣，所选的事件域 可以是包含 的最小σ-代数，这种σ-代数是存在的，因为：1．至少有一个包含 的σ-代数即上述 ． 2．若有很多包含 的σ-代数，则它们的交也是σ-代数，且就是最小的．
特别地，如果我们只对Ω的一个子集A感兴趣，则包含A的最小σ-代数就是
={φ,A, ,Ω}．
概率空间的第三个要素是概率P． 对概率的定义应包含前面统计定义、古典概率、几何概率等特殊情况，因此可以这样定义概率：
概率是定义在 上的实值集函数：A( ) P(A)，并且满足下列条件（公理）：
P1．（非负性）对任一A , P(A)≥0;
P2．（规范性）P(Ω)=1;
P3．（可列可加性）若 是 中两两互不相容的事件，则
P( ．
用测度论的话说，概率是定义在σ-代数上的规范化的测度．
三元体 (Ω, , P) 就构成一个概率空间(probability space)．
下面再举个具体例子来说明实际问题中概率空间是怎样构造的．
例3 某人生产一批产品，任取一个产品．我们只关心它是否是正品，则可取A={产品是正品}，Ω=（A， ），事件域 ={φ,A, ,Ω}，再赋予F中各事件以概率：P(φ)=0，P(A)=p ( ), P( )=1－p, P(Ω)=1, 这样定义的概率满足概率的三个条件． (Ω, ,P) 就是概率空间． 这里的P(A) 事实上就是这批产品的正品率．
由此可知，概率的公理化定义只是规定了概率这个概念所必须满足的基本性质，它没有也不可能解决在特定场合下如何定出概率的问题．这一定义的意义在于它为一种普遍而严格的概率理论奠定了基础．
通常，对于一个具体问题，构造其概率模型时，样本空间和域的确定并不困难；但确定每个基本事件的概率大小往往需要足够的与问题相关的背景知识．概率论学科的主要任务是研究如何从简单事件的概率去计算复杂的、更有兴趣的事件的概率，因而总假定概率模型是给定的 ．
从上述定义我们可直接推出下列概率的运算公式．
1． P(φ)=0．
2． 若 =φ, i, j=1,2,…, n, 则
P( ．
3． P( )=1－P(A)．
4． 若B A，则P(A－B)=P(A)－P(B)．
5． P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)．
第1条的证明：因为P(Ω)=P(Ω+φ+φ+…)= P(Ω)+P(φ)+P(φ)+…,两边消去P(Ω)，就有P(φ)=0．
第2条称为有限可加性，它可从可列可加性与第1条推得(对 ,令 φ)． 结合1、2两条，容易推得第3条．
为证明第4条，只须注意A=B + (A－B)，并且 φ，再应用第2条即可．
注意第4条必须有条件 ，如果取消这条件，则因A－B = A－AB，就有
6． P(A－B) = P(A)－P(AB)．
第5条可这样证明：A∪B= A+ (B－AB), 而 =φ,又 ,故P(A∪B)= P(A) +P(B－AB)= P(A) + P(B)－P(AB)．
如果AB=φ，第5条就变成第2条的情况．
利用归纳法，第5条可以推广到任意个事件的和：
7．（多还少补定理）
P( ∪ ∪…∪ )=
+ +…+ ． 在实际问题中，可以先把一个复杂事件运用事件的和、交、差与逆等运算分解为较简单的事件，再利用概率运算公式进行计算．
例4 口袋中有n ( 3) 个球，编号为1, 2, …,n． 任取三球，求1、2号球至少出现一个的概率．
解法1 直接利用古典概型计算．{1,2号球至少出现一个}={恰好出现一个}+{两个都出现}, 故
P= ．
解法2 记 ={出现第i号球}，i =1, 2． 则所求概率为
P( ．
解法3 的逆事件为 = ，故
P( )=1－P( )=1－ ．
读者自己可以验证这三结果是相同的．
例5 某班有n个士兵，每人各有一支枪，这些枪外形完全一样． 在一次夜间紧急集合中，每人随机取一支枪，求至少有一人拿到自己的枪的概率．
解 记 {第i个人拿到第i条枪}, i=1,2,…,n, 则所求为P( ．又
P( , P( , 1≤i < j≤n, …, P( ,
故 P( =
=
这类问题称为匹配问题．
概率测度的连续性.
给定一概率空间（ A ,P）． 假设 是一列单调增加的事件序列，即
记 ，称 为 的极限．从公理化定义可以看出， 仍然是一个事件．下面定理给出该事件的概率大小．

8．连续性定理 如果 是一列单调增加事件序列，具有极限 ，那么
．
证明． 对k=1,2,… 令 ．那么 是一列不相交事件的并．根据可列可加性，
= ．
另外， ． 因此，
=
正是在上述定理的意义下， 我们说概率具有连续性．
如果 是一列单调减少事件序列，记 ,那么同样有 ，请读者自行证明．
例6 独立投掷一枚均匀硬币无穷多次，一次正面都没出现的可能性显然是0．下面我们可以用上述连续性定理给出严格的解释：令 表示前n次投掷中至少出现正面一次，那么 ．记 ，表示正面最终会出现．这样，
．

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