作业帮已知抛物线对称轴x=2,且与直线y=2x-1相切,与x轴的两个交点的距离为2√2,求此抛物线的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:13:32
已知抛物线对称轴x=2,且与直线y=2x-1相切,与x轴的两个交点的距离为2√2,求此抛物线的解析式
已知抛物线对称轴x=2,且与直线y=2x-1相切,与x轴的两个交点的距离为2√2,求此抛物线的解析式
已知抛物线对称轴x=2,且与直线y=2x-1相切,与x轴的两个交点的距离为2√2,求此抛物线的解析式
设 y=a(x-2)^2+b, （1）
y=2x-1 (2)
因为对称轴 x=2 ,与x轴的两个交点间距离为 2√2 ,
所以 交点坐标为 (2-√2,0）,(2+√2,0),
代入(1) 得 2a+b=0 （3）
（1）-（2）得 ax^2-(4a+2)x+4a+b+1=0,
所以 Δ=(4a+2)^2-4a(4a+b+1)=0 （4）
由（3）（4）解得 a=-1,b=2,或 a=-1/2,b=1
所以,所求的抛物线的解析式为 y=-(x-2)^2+2=-x^2+4x-2 ,或 y=-1/2*(x-2)^2+1
由于对称轴诶x=2
所以可用顶点式设
y=a(x-2)²+c
y=2x-1=2(x-1)+1
所以切点为(1,1)
y=a(x-2)²+c
y′=2a(x-2)
当x=1 y′=2
2=2a(1-2) a=-1
y=-(x-2)²+c
当y=0 (x-2)²=c
...
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由于对称轴诶x=2
所以可用顶点式设
y=a(x-2)²+c
y=2x-1=2(x-1)+1
所以切点为(1,1)
y=a(x-2)²+c
y′=2a(x-2)
当x=1 y′=2
2=2a(1-2) a=-1
y=-(x-2)²+c
当y=0 (x-2)²=c
x=2±根号下c
2根号下c=2根号下2
所以c=2
所以y=-(x-2)²+2
收起
y=-1/2(x-2)^2+1
切点在(0,1)
设抛物线解析式为f(x)=a(x-2)^2+b=ax²-4ax+4a+b，则f'(x)=2ax-4a
因为与直线y=2x-1相切，所以存在x，使得f'(x)=2ax-4a=2
则x=2+1/a
则切点坐标为（2+1/a，3+2/a）
设f(x)=a(x-2)^2+b=0的两解为x1，x2，依题意可得|x1-x2|=2根号2
根据韦达定理可得，x1+...
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设抛物线解析式为f(x)=a(x-2)^2+b=ax²-4ax+4a+b，则f'(x)=2ax-4a
因为与直线y=2x-1相切，所以存在x，使得f'(x)=2ax-4a=2
则x=2+1/a
则切点坐标为（2+1/a，3+2/a）
设f(x)=a(x-2)^2+b=0的两解为x1，x2，依题意可得|x1-x2|=2根号2
根据韦达定理可得，x1+x2=4，x1x2=4+b/a
则|x1-x2|=根号[(x1+x2)²-4x1x2]=根号[4²-4(4+b/a)]=2根号2
可得，-4b/a=8
所以b=-2a
则f(x)=ax²-4ax+2a，将切点坐标（2+1/a，3+2/a）代入可得，
a（2+1/a）²-4a（2+1/a）+2a=3+2/a
则2a+1/a+3=0
2a²+3a+1=0
解得，a=-1/2或a=-1
所以，f（x）=-1/2x²+2x-1或f（x）=-x²+4x-2
收起