作业帮二次函数与一元二次方程 求取值范围.二次函数f(x)=ax²+bx+c（a、b、c∈R）,满足f(-1)=0,f(1)=1,且对x∈R,有f(x)-x≥0成立.（1）求f(x)的解析式.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 02:00:18
二次函数与一元二次方程 求取值范围.二次函数f(x)=ax²+bx+c（a、b、c∈R）,满足f(-1)=0,f(1)=1,且对x∈R,有f(x)-x≥0成立.（1）求f(x)的解析式.
二次函数与一元二次方程 求取值范围.
二次函数f(x)=ax²+bx+c（a、b、c∈R）,满足f(-1)=0,f(1)=1,且对x∈R,有f(x)-x≥0成立.
（1）求f(x)的解析式.
二次函数与一元二次方程 求取值范围.二次函数f(x)=ax²+bx+c（a、b、c∈R）,满足f(-1)=0,f(1)=1,且对x∈R,有f(x)-x≥0成立.（1）求f(x)的解析式.
f(-1)=a-b+c=0
f(1)=a+b+c=1
相加得:a+c=1/2.相减得:b=1/2.
即f(x)=ax^2+x/2+1/2-a
f(x)-x=ax^2-x/2+1/2-a>=0,对于R,恒成立.
那么a>0,判别式<=0
1/4-4a(1/2-a)<=0
1-16a(1/2-a)<=0
1-8a+16a^2<=0
(4a-1)^2<=0
又因为(4a-1)^2>=0
故有4a-1=0,a=1/4
所以,f(x)=x^2/4-x/2+1/4
因为f(-1)=0，f(1)=1，所以a(-1)²+b(-1)+c=0……（1）
a1²+b*1+c=1……（2）
又对x∈R，有f(x)-x≥0成立
则ax²+（b-1）x+c≥0所以a≥0且判别式小于0
求解a，b，c
代入f(-1)=0，f(1)=1，得b=1/2,a+c=1/2
∴f(x)=ax²+1/2x+c
令g(x)=f(x)-x
g(x)=ax²-1/2x+c≥0
∴g(x)最小值为（4ac-b²)/4a=0
得ac=1/16.
又a+c=1/2,解得a=1/4,c=1/4
所以f(x)的解析式f(x)=1/4x²+1/2x+1/4