作业帮超难初中几何题（高人来）已知：在三角形ABC中,AB=AC,CD是角平分线,过三角形ABC的外心作CD的垂线交AC于E,过E作CD的平行线交AB于F.求证：AE=FD又掉罄 和 fysx730821 的回答我都看懂了，只是又掉罄
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 02:18:21
超难初中几何题（高人来）已知：在三角形ABC中,AB=AC,CD是角平分线,过三角形ABC的外心作CD的垂线交AC于E,过E作CD的平行线交AB于F.求证：AE=FD又掉罄 和 fysx730821 的回答我都看懂了，只是又掉罄
超难初中几何题（高人来）
已知：在三角形ABC中,AB=AC,CD是角平分线,过三角形ABC的外心作CD的垂线交AC于E,过E作CD的平行线交AB于F.
求证：AE=FD
又掉罄 和 fysx730821 的回答我都看懂了，只是又掉罄的方法比较烦，又写得很挤，看起来很头大。
哈萨诺奇的提示 和 fysx730821的方法似乎相同，等哈萨诺奇在线的时候，我去问问他，所以可能采纳要拖几天，
刚才和哈萨诺奇聊了一下，发现他的方法和 fysx730821基本相同。
答得多的方法也不错，没办法，进入投票吧。
超难初中几何题（高人来）已知：在三角形ABC中,AB=AC,CD是角平分线,过三角形ABC的外心作CD的垂线交AC于E,过E作CD的平行线交AB于F.求证：AE=FD又掉罄 和 fysx730821 的回答我都看懂了，只是又掉罄
延长CD交圆O于点P,连接PA、PE；连接AO并延长,交CD于点Q,连接EQ.
设 ∠BAO = ∠CAO = α ,∠ACD = ∠BCD = β .
因为,OG⊥CD,由垂径分弦,可得：∠EPC = ∠ECP = α ；
又 ∠APC = ∠ABC = 2α ,可得：∠APE = α .
因为,∠PAQ = ∠PCB = β ,
∠PAQ = ∠PAD+∠DAQ = β+α = ∠ACD+∠CAO = ∠PQA ,
所以,PA = PQ .
因为,PA = PQ ,∠APE = α = ∠QPE ,PE为公共边,
所以,△PAE ≌ △PQE ,
可得：AE = QE ,∠EQA = ∠EAQ = ∠DAQ ,
所以,EQ‖FD,且EF‖DQ,
可得：EFDQ为平行四边形,
所以,FD = EQ = AE .
延长CD交圆于M，连AM、EM，
因为OE垂直MC，由垂径定理，OE为MC的中垂线，
所以∠EMC=∠ECM=∠MCB，所以ME‖BC
所以∠AEC=∠ACB=∠ABC=∠AMC
又∠MAE=∠CAM，所以△MAE∽△CAM，所以∠AME=∠ACM=∠EMC
所以ME平分∠AMC，所以AF/FD=AE/EC=AM/MC（角平分线定理）
又∠MAB=∠...
全部展开
延长CD交圆于M，连AM、EM，
因为OE垂直MC，由垂径定理，OE为MC的中垂线，
所以∠EMC=∠ECM=∠MCB，所以ME‖BC
所以∠AEC=∠ACB=∠ABC=∠AMC
又∠MAE=∠CAM，所以△MAE∽△CAM，所以∠AME=∠ACM=∠EMC
所以ME平分∠AMC，所以AF/FD=AE/EC=AM/MC（角平分线定理）
又∠MAB=∠MCB=∠ACM，∠AMC公共，所以△MAD∽△MCA
所以AF/FD=AM/MC=MD/AM=AD/AC
又EF‖CD，所以AF/FD=AD/AC=AF/AE
即AF/FD=AF/AE，所以AE=FD得证。
收起
证明：过点A作AQ垂直BC于Q，交CD于P，P点是内心，连接EP、OC。 ∠APC=90°+∠PCQ，∠AEO=90°+∠ACG，得到∠APC=∠AEO 则点O、E、C、P四点共圆，∠ACO=∠EPA 半径OA=OC，∠ACO=∠CAO，AQ是∠BCA的平分线，∠CAO=∠DAP 则有∠EPA=∠PAD，EP‖DF，因EF‖DP， 四边形DFEP是平行四边形，DF=EP ∠EPA=∠PEA，EP=AE，则DF=AE得证。
提示一下：
过D作EF的垂线交EF于H，你可以得到：
GDHE为矩形，然后利用CD为∠ACB的角平分线，和GE垂直EF，你可以转化角的关系，找出角和边的关系，然后利用三角形全等，就可以得出结论！
因为没办法画图，所以也没办法详细描述，请自己按照提示做一下。...
全部展开
提示一下：
过D作EF的垂线交EF于H，你可以得到：
GDHE为矩形，然后利用CD为∠ACB的角平分线，和GE垂直EF，你可以转化角的关系，找出角和边的关系，然后利用三角形全等，就可以得出结论！
因为没办法画图，所以也没办法详细描述，请自己按照提示做一下。
收起