作业帮求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 21:27:33
求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
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求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
1.(dy/dx)-y/x-1=0,y(e)=3e；
令y/x=u,则y=ux；对x取导数得dy/dx=(du/dx)x+u,代入原式得：
(du/dx)x+u-u-1=0,即有(du/dx)x=1；分离变量得du=dx/x；积分之得u=lnx+lnC=ln(Cx),
故得通解为y=xln(Cx)；代入初始条件：3e=eln(Ce)=e(lnC+1),即有lnC=2,C=e²；
于是得特解为y=xln(e²x)=x(2+lnx)=2x+xlnx；
2.xy'+2y=0,y(1)=1；
dy/dx=-2y/x；分离变量得dy/y=-2dx/x；取积分得lny=-2lnx+lnC=ln(C/x²)
故得y=C/x²,即通解为x²y=C；代入初始条件得C=1,故得特解为x²y=1.
1、∵原方程可化为：dy/dx-y/x=1
而 dy/dx-y/x=0的积分方程为： y=C1x
∴，令方程通解为：y=C(x)x
则：C'(x)x=1
解得：C(x)=lnx+C2
∴原方程通解为：
y=xlnx+C2x
又∵y(e)=3e
...
全部展开
1、∵原方程可化为：dy/dx-y/x=1
而 dy/dx-y/x=0的积分方程为： y=C1x
∴，令方程通解为：y=C(x)x
则：C'(x)x=1
解得：C(x)=lnx+C2
∴原方程通解为：
y=xlnx+C2x
又∵y(e)=3e
∴C2=2
∴方程特解为：
y=xlnx+2x
2、方程可化为：dy/dx=-2y/x
即：dy/2y=-dx/x
两边积分：1/2ln2y=-lnx+lnC
化简：2y=（C/x）^2
又y(1)=1
解得：C=√2
∴方程特解为：y=1/x^2
收起
1.
xdy-ydx-xdx=0
(xdy-ydx)/x^2-dx/x=0
d(y/x-lnx)=0
y/x-lnx=c
代入初始条件：
3e/e-1=c c=2
y=xlnx+2x
2.
xdy+2ydx=0
x^2dy+2xydx=0
d((x^2)y)=0
(x^2)y=c
代入初始条件：
1＝c
y=1/x^2