初三数学题：在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP,连结CP．在射线CP上截取CQ=CD,连结DQ,得到等腰三角形△QDC．我们称△QDC是△PBC的

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 15:05:48

初三数学题：在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP,连结CP．在射线CP上截取CQ=CD,连结DQ,得到等腰三角形△QDC．我们称△QDC是△PBC的
初三数学题：在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP

在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP,连结CP．在射线CP上截取CQ=CD,连结DQ,得到等腰三角形△QDC．我们称△QDC是△PBC的“伴随三角形”．设BP旋转的角为α,∠DCQ=β．

当0°<α<360°时,请在图2、图3中探究：△PBC与它的“伴随三角形”的面积会相等吗?
若能相等,α的值为多少?并指出此时线段DQ与PB之间的关系；（只要直接写出结论）若不相等,请说明理由

初三数学题：在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP在正方形ABCD中,将BC绕点B逆时针旋转后得到线段BP,连结CP．在射线CP上截取CQ=CD,连结DQ,得到等腰三角形△QDC．我们称△QDC是△PBC的
答案：只有当α=120°和α=240°时,△PBC与它的“伴随三角形”的面积相等.
依据题意,知道BC=CD,BC=BP,CQ=CD,所以：BC=CD=BP=CQ;
此题应将角度α分类讨论：设角BCP=r,△QDC面积为S1,△PBC面积为S2
（1）当0°<α<90°时,若要△QDC是△PBC面积相等,那么必须角α=角β,此时,有：α+2r=180°；β+r=90°
解得r=90°,α=0,不符合要求,所以此时△QDC是△PBC面积不相等；
（2）当90°≤α<180°时,S1=0.5CD*CQ*sinβ S2=0.5BC*BP*sin（180°-α）若要S1=S2,则：β=180°-α,
同时,α+2r=180°所以,β=2r,又有β+r=90°,解得β=60°,α=120°
（3）当180°≤α<270°时,S1=0.5CD*CQ*sin（180°-β） S2=0.5BC*BP*sin（α-180°）,
若要S1=S2,则：180°-β=α-180°即α+β=360°,同时,α+（180°-2r）=360°所以β=180°-2r,又有β=90°+r,解得β=120°,则α=240°
（4）当270°≤α<360°时,S1=0.5CD*CQ*sin（180°-β）, S2=0.5BC*BP*sin（360°-α）
若要S1=S2,则：180°-β=360°-α,即α=180°+β,同时,β=90°+r,所以α=270°+r,又有（360°-α）+2r=180°
解得：r=90°,α=360°不符合题意,所以此时△QDC是△PBC面积不相等
综上所述,只有当α=120°和α=240°时,△PBC与它的“伴随三角形”的面积相等.