作业帮解一阶线性方程(1+x)dy/dx-xy=xe^(-x)已知当x=0时y=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 11:28:23
解一阶线性方程(1+x)dy/dx-xy=xe^(-x)已知当x=0时y=1
解一阶线性方程
(1+x)dy/dx-xy=xe^(-x)
已知当x=0时y=1
解一阶线性方程(1+x)dy/dx-xy=xe^(-x)已知当x=0时y=1
解一阶线性方程：(1+x)(dy/dx)-xy=xe^(-x)；已知当x=0时y=1.
先求齐次方程(1+x)(dy/dx)-xy=0的通
(1+x)(dy/dx)=xy；
分离变量得(dy)/y=[x/(1+x)]dx=[1-1/(1+x)]dx
积分之得lny=x-ln(1+x)+lnC₁=x+ln[C₁/(1+x)]
故y=e^{x+ln[C₁/(1+x)]}=(e^x)e^ln[C₁/(1+x)]=C₁(e^x)/(1+x)
将C₁换成x的函数u,得y=u(e^x)/(1+x).(1)
将(1)对x取导数,得：
y'=u'(e^x)/(1+x)+u[(1+x)(e^x)-(e^x)]/(1+x)²
=u'(e^x)/(1+x)+ux(e^x)/(1+x)².(2)
将(1)和(2)代入原式得：
(1+x)[u'(e^x)/(1+x)+ux(e^x)/(1+x)²]-x[u(e^x)/(1+x)]=x/e^x
u'(e^x)+ux(e^x)/(1+x)-xu(e^x)/(1+x)=x/e^x
故得u'(e^x)=x/e^x
分离变量得du=[x/e^(2x)]dx
积分之得u=∫[x/e^(2x)]dx=(-1/2)∫xd[e^(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)e^(-2x)]+C
=-(1/2)[x+(1/2)]e^(-2x)+C=-(2x+1)/[4e^(2x)]+C.(3)
将(3)代入(1)式即得通解:
y={-[(2x+1)/[4e^(2x)]+C}[(e^x)/(1+x)
={-[(2x+1)/(4e^x)]+Ce^x}/(1+x)
=-(2x+1)/[4(1+x)e^x]+(Ce^x)/(1+x)
将初始条件x=0,y=1代入得1=-(1/4)+C,故C=1+1/4=5/4
于是得特解为y=-(2x+1)/[4(1+x)e^x]+(5e^x)/[4(1+x)]