作业帮证明(1/n)^n+(2/n)^n+……+(n-1/n)^n > (n-1)/2(n+1) 对任意n正整数成立
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:32:57
证明(1/n)^n+(2/n)^n+……+(n-1/n)^n > (n-1)/2(n+1) 对任意n正整数成立
证明(1/n)^n+(2/n)^n+……+(n-1/n)^n > (n-1)/2(n+1) 对任意n正整数成立
证明(1/n)^n+(2/n)^n+……+(n-1/n)^n > (n-1)/2(n+1) 对任意n正整数成立
首先证明:对正整数n与a,b > 0,a ≠ b,有不等式(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) ≤ (a^n+b^n)·(n+1)/2.
实际上,2(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) = 2(a^n+a^(n-1)b+...+ab^(n-1)+b^n)
= (a^n+b^n)+(a^(n-1)b+ab^(n-1))+...+(ab^(n-1)+a^(n-1)b)+(b^n+a^n)
≤ (n+1)(a^n+b^n) (对i = 0,1,...,n,不难证明:a^i·b^(n-i)+a^(n-i)·b^i ≤ a^n+b^n),
即得(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) ≤ (a^n+b^n)·(n+1)/2.
在其中取a = k,b = k-1,得k^n+(k-1)^n ≥ 2(k^(n+1)-(k-1)^(n+1))/(n+1).
对k = 1,2,...,n求和得n^n+2(n-1)^n+2(n-2)^n+...+2·2^n+2·1^n+0^n ≥ 2(n^(n+1)-0^(n+1))/(n+1)
即2(1^n+2^n+...+(n-1)^n) ≥ 2·n^(n+1)/(n+1)-n^n = n^n·(2n)/(n+1)-n^n = n^n·(n-1)/(n+1).
也即(1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n ≥ (n-1)/(2(n+1)).
且易见n > 1时等号不能成立.
学过定积分的话,这个不等式可以有几何解释:
考虑y = x^n下在区间[0,1]上的面积,不难算得为1/(n+1).
1/n·((1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n)为曲线下的n-1个矩形(下图红色矩形)的面积和.
而n个三角形(下图绿色三角形)的底边长均为1/n,高的和为1,因此面积和为1/(2n).
由曲线的凸性,有面积不等式:矩形面积和+三角形面积和 > 曲线下面积 = 1/(n+1).
变形得(1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n > (n-1)/(2(n+1)).
上图是n = 4的情形,其中(1/4,1/256)那个点太靠近x轴了,所以第一个三角形和矩形都难以分辨.