用反证法证明 根号2 是无理数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:01:50
用反证法证明 根号2 是无理数

用反证法证明 根号2 是无理数
用反证法证明 根号2 是无理数

用反证法证明 根号2 是无理数
假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:
根号2=p/q
于是
p=(根号2)q
两边平方得
p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）
由2q^2是偶数,可得p^2是偶数.而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.
因此可设p=2s,代入上式,得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶数.这样,p,q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾.
这个矛盾说明,根号2不能写成分数的形式,即根号2不是有理数.

证:假设 根号2是有理数
根号2=p/q(p,q互质,p,q属于自然数)
2=p2/q2所以p2=2q2
所以p2为偶数所以p为偶数
所以q2=p2/2,所以p2为4的倍数
所以q为2的倍数也是偶数
q也是偶数与p,q互质矛盾
所以根号2不是有理数是无理数
(为什么p,q互质就是有理数你就自己翻书看定义吧)...

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证:假设 根号2是有理数
根号2=p/q(p,q互质,p,q属于自然数)
2=p2/q2所以p2=2q2
所以p2为偶数所以p为偶数
所以q2=p2/2,所以p2为4的倍数
所以q为2的倍数也是偶数
q也是偶数与p,q互质矛盾
所以根号2不是有理数是无理数
(为什么p,q互质就是有理数你就自己翻书看定义吧)

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