麻烦您帮我计算一下 x^3-15x^2+48x-80=0的根

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 05:08:55

麻烦您帮我计算一下 x^3-15x^2+48x-80=0的根
麻烦您帮我计算一下 x^3-15x^2+48x-80=0的根

麻烦您帮我计算一下 x^3-15x^2+48x-80=0的根
不要用他们的方法,
用盛金定理：
x^3-15x^2+48x-80=0 a=-15 b=48 c=-80
m=36ab-8a^3-108c=9720
n=[m^2+(12b-4a^2)^3]^(1/2)=7776
p=(m+n)^(1/3)=25.960492
q=(m-n)^(1/3)=12.480503
x1=[(p+q)-2a]/6=11.40683 (我代回了,用EXCEL,完全正确）
x2=-[[（p+q)+4a]/12]+i[根号3(p-q)/12]=-1.7965837+i1.9456689（虚数）
x3=-[[（p+q)+4a]/12]-[根号3(p-q)/12]=-1.7965837-i1.9456689（虚数）

是大题目吧，这个方程只有一个根，根在11和12之间，我还没有方法可以解出来，数字奇怪的，检查一下你的过程对不对啊

11.40683255

塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
x³ -15x²+48x-80=0
令m=x-5
(m+5) ³ -15(m+5)² +48(m+5) -80=0
m³ +15m²+75m+125 - 15m²- 150m - 375 + 48m+240 -80=0
m³ = 27m+90 <...

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塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
x³ -15x²+48x-80=0
令m=x-5
(m+5) ³ -15(m+5)² +48(m+5) -80=0
m³ +15m²+75m+125 - 15m²- 150m - 375 + 48m+240 -80=0
m³ = 27m+90
假设方程的解m可以写成m=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有
(a-b)³ = 27(a-b)+90
整理得到：a³ -b³ =(a-b)(27+3ab)+90
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在m=a-b的同时， 3ab+27=0。
这样上式就成为：a³ -b³ =90
两边各乘以27a³，就得到：27a^6-27a³ b³ =27*90*a³ 由27=-3ab可知　　　　　　27a^6 + 27 = 27*90*a³
这是一个关于a³ 的二次方程
(a³)² - 90a³ +1 =0
a³ = 45±√2024
……
后面的自己解吧

收起

这样的方程一般不能用常规方法求根，三次方程的求根公式一般不要求记忆，因此，不是特殊的三次方程一般是没法求解的。可用导数结合二分法求其近似解，但很麻烦，一般也不会作要求。

这里用几何画板直观算出近似根为11.4。点击图片可看大图。