作业帮有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 03:12:04
有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.
这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
有四个自然数,其中每个数都不能被另外三个数整除,但其中任意两个数的积可以被另外两个数整除.这四个数和最小是多少?(⊙_⊙?)
这四个数是四个互质数中三个数组合后的乘积.四个最小的互质数是：2,3,5,7
要求的四个数分别为
2×3×5=30
2×3×7=42
2×5×7=70
3×5×7=105
和为30+42+70+105=247
假设四个数为A,B,C,D，首先证明以下几个引理：
1.A,B,C,D没有公共素因子：
这个很简单，若A,B,C,D都能被x整除，则A/x,B/x,C/x,D/x也满足条件，那么四数和不是最小
2.若a是ABCD的素因子，而A没有这个素因子，那么B,C,D必然都包含这个素因子：
假设B不包含这个素因子，而C包含（C，D中至少一个包含，假设是C），那么C不能整除AB<...
全部展开
假设四个数为A,B,C,D，首先证明以下几个引理：
1.A,B,C,D没有公共素因子：
这个很简单，若A,B,C,D都能被x整除，则A/x,B/x,C/x,D/x也满足条件，那么四数和不是最小
2.若a是ABCD的素因子，而A没有这个素因子，那么B,C,D必然都包含这个素因子：
假设B不包含这个素因子，而C包含（C，D中至少一个包含，假设是C），那么C不能整除AB
在1、2两条引理的联合证明下，必有：
A,B,C,D每个数，均至少对应这样一个素因子，它不包含这个素因子，但是其他数均包含。这样我们可以得到A,B,C,D至少要满足的模型。
A=b*c*d*……
B=a*c*d*……
C=a*b*d*……
D=a*b*c*……
不难看出，
A=b*c*d
B=a*c*d
C=a*b*d
D=a*b*c，时A+B+C+D最小，而最小的四个素数是2，3，5，7因此这四个数就是
30，42，70，105，和为247
收起