如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 20:33:55

如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理?
如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理?

如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理?
(用解析几何的方法证)
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 证毕

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