作业帮高数-反常积分题~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 07:30:38
高数-反常积分题~
高数-反常积分题~
高数-反常积分题~
积分上下限都暂时省略
原式=-∫sinxd[e^(-x)]
=-sinx*e^(-x) +∫e^(-x)*d(sinx)
前项代入上下限：
原式=-lim(b→正无穷)sinb*e^(-b) + sin0*e^(0)+ ∫cosx*e^(-x) dx
其中前项这个极限,|sinb|≤1,是有界量；而e^(-b)在b趋于正无穷时,显然极限为0,于是这个极限是由一个无穷小量乘上一个有界的量组成,根据“无穷小量乘以有界量极限为0”的性质,其极限值为0,故：
原式=-∫cosx*d[e^(-x)]
=-cosx*e^(-x) + ∫e^(-x)d(cosx)
前项代入上下限,可得：
原式=-lim(b→正无穷)cosb*e^(-b) + cos0*e^(0) -∫sinx*e^(-x)dx
显然,前项这个极限同样基于“无穷小量乘以有界量”的性质取0,于是：
原式=1-∫sinx*e^(-x)dx
右侧第二项显然就是原式要求的,移项后得：
2∫e^(-x)sinxdx=1
原式=∫e^(-x)sinxdx=1/2