已知正数ab满足ab=1,求证a2+b2≥a+b

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 14:17:10
已知正数ab满足ab=1,求证a2+b2≥a+b

已知正数ab满足ab=1,求证a2+b2≥a+b
已知正数ab满足ab=1,求证a2+b2≥a+b

已知正数ab满足ab=1,求证a2+b2≥a+b
a²+b²-(a+b)
=a²+b²+2ab-(a+b)-2ab
=(a+b)²-(a+b)-2
=(a+b-2)(a+b+1)
a、b均为正,由均值不等式得a+b≥2√(ab)=2,因此a+b-2≥0
a+b+1>1>0
(a+b-2)(a+b+1)≥0
a²+b²≥a+b

证明:(a²+b²)-(a+b)=(a²+b²+2ab-2ab)-(a+b)
∵ab=1
∴(a²+b²)-(a+b)=(a+b)²-(a+b)-2=(a+b-2)(a+b+1)
∵正数a、b
∴a+b+1>0 a+b≥2√(ab)=2
∴a+b-2≥0
∴(a²+b²)-(a+b)≥0
∴a²+b²≥a+b