设α,β是方程4x^2-4mx+m+2=0 的两实根,当m为何值时,α^2+β^2有最小值?求出这个最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 04:43:20
设α,β是方程4x^2-4mx+m+2=0 的两实根,当m为何值时,α^2+β^2有最小值?求出这个最小值

设α,β是方程4x^2-4mx+m+2=0 的两实根,当m为何值时,α^2+β^2有最小值?求出这个最小值
设α,β是方程4x^2-4mx+m+2=0 的两实根,当m为何值时,α^2+β^2有最小值?求出这个最小值

设α,β是方程4x^2-4mx+m+2=0 的两实根,当m为何值时,α^2+β^2有最小值?求出这个最小值
首先判别式=16m^2-16(m+2)>=0
m^2-m-2>=0
m>=2或者m

根据韦达定理:α+β=4m/4=m αβ=(m+2)/4
再由判别式=16m^2-16(m+2)≥0,求出m的取值范围是:m≤-1或m≥2
因此 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-(m+2)/2=(m-1/4)^2-17/16
看成关于M的二次函数,开口向上,最小值时需要离对称轴m=1/4最近的点
显然m=-1最近(1/4-(-1)=5/4,2-...

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根据韦达定理:α+β=4m/4=m αβ=(m+2)/4
再由判别式=16m^2-16(m+2)≥0,求出m的取值范围是:m≤-1或m≥2
因此 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-(m+2)/2=(m-1/4)^2-17/16
看成关于M的二次函数,开口向上,最小值时需要离对称轴m=1/4最近的点
显然m=-1最近(1/4-(-1)=5/4,2-1/4=7/4)
所以m=-1最小,最小值为1-(1)/2=1/2
故当m=-1时,α^2+β^2有最小值1/2。

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