★★★追30分!求证通径为抛物线中过焦点最短的弦!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 07:23:01

★★★追30分!求证通径为抛物线中过焦点最短的弦!
★★★追30分!求证通径为抛物线中过焦点最短的弦!

★★★追30分!求证通径为抛物线中过焦点最短的弦!
设抛物线方程为：\x0dy^2 = 2px ………………（1）\x0d其中p>0\x0d则焦点坐标为：\x0dF=(p/2,0)\x0d\x0d

\x0d\x0d如图：过焦点做不垂直于x轴的直线AB,设其斜率为k（k不为0,否则直线与抛物线只有1个交点）\x0d则：直线AB的方程为：\x0dy = k(x-p/2) ………………（2）\x0d\x0d根据抛物线性质,其通经长度为2p.\x0d现在我们证明,对于任何的斜率k,AB的长度都比2p大.\x0d\x0d根据抛物线性质（抛物线上的任1点到焦点F的距离与到准线CD的距离相等）,显然AB的距离为：\x0d|AB| = |AF| + |BF| = |AC| + |BD|\x0d= (p/2 + x1) + (p/2 + x2)\x0d= p + (x1 + x2)\x0d其中x1,x2分别为A、B两点的横坐标.\x0d\x0d联合（1）（2）两个式子,得：\x0d[ k(x-p/2) ]^2 = 2px\x0d(kx)^2 - (k^2+2)px + (kp/2)^2 = 0\x0d则：\x0dx1 + x2 = (k^2+2)p / k^2 = p + 2p/k^2 > p\x0d\x0d所以：\x0d|AB| = p + (x1 + x2) > 2p\x0d可见,只要AB不垂直于x轴,其长度就大于通经2p,即通径为抛物线中过焦点最短的弦.\x0d证毕.

可以在极坐标系下证明

★★★追30分!求证通径为抛物线中过焦点最短的弦! 抛物线,通径的证明的已知抛物线y^2=2px(p>0),F为焦点1求证:过点F的所有弦中,最短的是通径2若弦AB过点(2p.0),求证：OA垂直OB 抛物线的证明题已知抛物线y的平方=2px的一条过焦点的弦被焦点分成长为m,n的两段.求证:m分之1+n分之1=p分之2. 过抛物线Y^2=2PX的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个焦点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-P^2 过抛物线Y^2=2PX的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个焦点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-P^2 在平面直角坐标系xoy中,抛物线y2=4x焦点为F,点A、B为抛物线上异于点O的两个动点,且向量OA乘OB=0求证：直线AB过定点已知AB是抛物线y^2 =2px (p＞0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB背焦点F分成长为m,n的两部分已知AB是抛物线y^2 =2px (p＞0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分,求证：1/m+1/n=2/p 已知焦点在x轴上的抛物线,其通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)的长为8,求此抛物线的标准方程并指出它的焦点坐标和准线方程在平面直角坐标系xoy中已知抛物线y^2=2px 横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为51.求该抛物线的标准方程2.设点C是抛物线上的动点,若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证.圆C过定点过抛物线Y^2=4X焦点的弦,被焦点分为长为m和n两部分,求证:m+n=mn PQ为过抛物线焦点F的弦,作PQ的垂直平分线交抛物线对称轴于R点,求证|FR|=1/2|PQ| 设PQ是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,求证:以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切. 求证：以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切. 求证：以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆,比与此抛物线的准线相切求证：以抛物线y^2=2px过焦点的弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切. 过抛物线y^2=2px焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-p^2 过抛物线y2=2px(p大于0）焦点的直线交抛物线两点的纵坐标为Y1.Y2.求证：Y1Y2=-P2 过抛物线y^2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2求证y1y2=-p^2.