作业帮已知向量a=(cos二分之三x,sin二分之三x),b=(cos二分之x,-sin二分之x),且x∈[0,二分之π]①求a·b及|a+b|②求函数f(x)=a·b-4m|a+b|+1的最小值g(m)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 20:36:07
![已知向量a=(cos二分之三x,sin二分之三x),b=(cos二分之x,-sin二分之x),且x∈[0,二分之π]①求a·b及|a+b|②求函数f(x)=a·b-4m|a+b|+1的最小值g(m)](/uploads/image/z/3913514-26-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8Fa%3D%28cos%E4%BA%8C%E5%88%86%E4%B9%8B%E4%B8%89x%2Csin%E4%BA%8C%E5%88%86%E4%B9%8B%E4%B8%89x%29%2Cb%3D%28cos%E4%BA%8C%E5%88%86%E4%B9%8Bx%2C-sin%E4%BA%8C%E5%88%86%E4%B9%8Bx%29%2C%E4%B8%94x%E2%88%88%5B0%2C%E4%BA%8C%E5%88%86%E4%B9%8B%CF%80%5D%E2%91%A0%E6%B1%82a%C2%B7b%E5%8F%8A%7Ca%2Bb%7C%E2%91%A1%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Da%C2%B7b-4m%7Ca%2Bb%7C%2B1%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BCg%28m%29)
已知向量a=(cos二分之三x,sin二分之三x),b=(cos二分之x,-sin二分之x),且x∈[0,二分之π]①求a·b及|a+b|②求函数f(x)=a·b-4m|a+b|+1的最小值g(m)
已知向量a=(cos二分之三x,sin二分之三x),b=(cos二分之x,-sin二分之x),且x∈[0,二分之π]
①求a·b及|a+b|
②求函数f(x)=a·b-4m|a+b|+1的最小值g(m)
已知向量a=(cos二分之三x,sin二分之三x),b=(cos二分之x,-sin二分之x),且x∈[0,二分之π]①求a·b及|a+b|②求函数f(x)=a·b-4m|a+b|+1的最小值g(m)
a=(cos(3x/2),sin(3x/2))
b=(cos(x/2),-sin(x/2))
因此,
a·b
=cos(3x/2)cos(x/2)-sin(3x/2)sin(x/2)
=cos(3x/2+x/2)
=cos(2x)
|a+b|
=√(a+b)^2
=√(a^2+b^2+2ab)
=√(1+1+2cos(2x))
=√2√(1+cos(2x))
=√2√(1+2cos^2x-1)
=2|cosx|
因为x∈[0,π/2],cosx∈[0,1]
=2cosx
f(x)
=a·b-4m|a+b|+1
=cos(2x)-8mcosx+1
=2cos^2x-8mcosx
为求简化表达式,换元t=cosx∈[0,1]
f(x)=h(t)=2t^2-8mt
对对称轴t=2m分类讨论：
1.2m≥1：h(t)单调递减,g(m)=f(x)min=h(1)=2-8m
2.2m≤0：h(t)单调递增,g(m)=f(x)min=h(0)=0
3.0
1. a=(cos3x/2, sin3x/2) b=(cosx/2, -sinx/2)
a*b= cos3x/2 cosx/2-sin3/2 sinx/2 = cos (3x/2 -x/2) = cos x (三角和公式的方向应用)
由于 x属于[0,π/2 ] 所以 a*b=cos x 值域是 [0,1] 并且单调递减
a+b= (cos3x/2+cosx/2,si...
全部展开
1. a=(cos3x/2, sin3x/2) b=(cosx/2, -sinx/2)
a*b= cos3x/2 cosx/2-sin3/2 sinx/2 = cos (3x/2 -x/2) = cos x (三角和公式的方向应用)
由于 x属于[0,π/2 ] 所以 a*b=cos x 值域是 [0,1] 并且单调递减
a+b= (cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2)
所以 |a+b|=√[ (cos3x/2+cosx/2)^2 + (sin3x/2-sinx/2)^2] 简化得到
=√[ 2 + 2cos3x/2 cosx/2 - sin 3x/2 sinx/2] =√[2 + 2cosx] 由cos的值域可得到
|a+b| 属于 [√2, 2]
收起
a·b=cos(3x/2)cos(x/2)+(-sin(3x/2))sin(x/2)=cos(2x)