大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a有没有简单一点的证法

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 14:01:51
大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a有没有简单一点的证法

大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a有没有简单一点的证法
大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a
有没有简单一点的证法

大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a有没有简单一点的证法
利用stolz定理,是最简单的做法
结论是明显的~
如果不用stolz定理,做法其实也不难~
lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a
根据定义：
对任意ε>0,存在N>0,当N>N,就有|a(n+1)/a(n)-a|

取对数
lim(n→∞)(ln(a[n+1])-ln(a[n]))=lna
lim(n→∞)（ln(a[n])/n）=lna——利用stolz定理
所以lim（an^(1/n)）=e^(lna)=a
有点抽象，欢迎追问

如果知道Stolz定理，就有简单证法。
lim ln(an)/n 这里用Stolz定理
=lim ln(a(n+1))-ln(an)
=lim ln(a(n+1)/a(n)
=lna，因此
lim an^(1/n)=a。
注：以上证明对a=0也适用，只需定义lna=负无穷即可。
不用Stolz定理的话，证明起来很麻烦的。

搞一张图片来，看不懂啊！

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